Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ no está definida.

$x = \frac{3}{4}$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ y cuya suma es $b = - 14$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $- 14$ de $- 14 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $- 14$ como $- 2$ más $- 12$

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Paso 5.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

Paso 5.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $12 x - 1$ .

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Paso 5.2

Expande $(12 x - 1) (2 x - 1)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.5

Mueve $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.6

Mueve $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.8

Multiplica $12$ por $2$ .

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.13

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.14

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

Paso 5.2.16

Resta $2 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $24 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $24 x^{2} - 18 x$ .

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x - 3$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 6 x + 1$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = \frac{3}{4}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 6 x + 1$

Paso 7