Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ no está definida.

$x = - 2, x = 3$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 2$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 2$ desde la derecha, entonces $x = - 2$ es una asíntota vertical.

$x = - 2$

Paso 3

Como $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $3$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $3$ desde la derecha, entonces $x = 3$ es una asíntota vertical.

$x = 3$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 2, 3$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 16 x$ .

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Paso 8.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 16 x}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Paso 8.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 16 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 16}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Paso 8.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$\frac{x (x^{2} - 16)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Paso 8.1.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 4^{2})}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Paso 8.1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Paso 8.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} + 4 x + 24$ .

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Paso 8.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 24}$

Paso 8.1.2.1.2

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 (x) + 24}$

Paso 8.1.2.1.3

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2}) + 4 x + 4 \cdot 6}$

Paso 8.1.2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6}$

Paso 8.1.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} + x) + 4 \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + x + 6)}$

Paso 8.1.2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1.2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 8.1.2.2.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + 1 x + 6)}$

Paso 8.1.2.2.1.2

Reescribe $1$ como $- 2$ más $3$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} + (- 2 + 3) x + 6)}$

Paso 8.1.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x^{2} - 2 x + 3 x + 6)}$

Paso 8.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.1.2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x^{2} - 2 x) + 3 x + 6)}$

Paso 8.1.2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x (- x - 2) - 3 (- x - 2))}$

Paso 8.1.2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 ((- x - 2) (x - 3))}$

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- x - 2) (x - 3)}$

Paso 8.1.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 8.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 2) (x - 3)}$

Paso 8.1.3.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x) - 1 (2)) (x - 3)}$

Paso 8.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- (x + 2)) (x - 3)}$

Paso 8.1.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 8.1.3.4.1

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (- 1 (x + 2)) (x - 3)}$

Paso 8.1.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$

Paso 8.1.3.4.3

Reordena los factores en $- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{(4 (x + 2)) (x - 3)}$ .

$- \frac{x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2

Expande $- x (x + 4) (x - 4)$ .

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Paso 8.2.1

Haz que $x$ sea negativo.

$\frac{- x (x + 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- x \cdot x - x \cdot 4) (x - 4)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x (x - 4) - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 (x - 4))}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot x \cdot - 4 - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.6

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - x \cdot (- 4 x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.7

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - x \cdot (4 x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.8

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot 4 \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.9

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) \cdot - 4}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.10

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.11

Factoriza el negativo.

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x \cdot x \cdot x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{1 + 1} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.15

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{2} x - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.16

Factoriza el negativo.

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x^{2} x) - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{2 + 1} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.19

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- x^{3} - 1 \cdot (- 4 x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.20

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x \cdot x - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.21

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.22

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.24

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.25

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \cdot x - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.26

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.27

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.28

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.29

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.30

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (- 4 x)}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.31

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.32

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 0 + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.2.33

Suma $0$ y $16 x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x + 2) (x - 3)}$

Paso 8.3

Expande $4 (x + 2) (x - 3)$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{(4 x + 4 \cdot 2) (x - 3)}$

Paso 8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x (x - 3) + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

Paso 8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 (x - 3))}$

Paso 8.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Paso 8.3.5

Mueve $x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x \cdot x + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Paso 8.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Paso 8.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Paso 8.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Paso 8.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Paso 8.3.10

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot (2 x) + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Paso 8.3.11

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 4 \cdot 2 \cdot - 3}$

Paso 8.3.12

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x + 8 \cdot - 3}$

Paso 8.3.13

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 12 x + 8 x - 24}$

Paso 8.3.14

Suma $- 12 x$ y $8 x$ .

$\frac{- x^{3} + 16 x}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

Paso 8.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

Paso 8.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x^{2}$ .

						-	$\frac{x}{4}$
	$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$

Paso 8.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

Paso 8.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} + x^{2} + 6 x$ .

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

Paso 8.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

Paso 8.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$\frac{x}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

Paso 8.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

Paso 8.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$24$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$x^{2}$

$10 x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$6$

Paso 8.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + x + 6$ .

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$

Paso 8.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

					-	$\frac{x}{4}$	-	$\frac{1}{4}$
$4 x^{2}$	-	$4 x$	-	$24$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$16 x$	+	$0$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$6 x$
							-	$x^{2}$	+	$10 x$	+	$0$
							+	$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
									+	$9 x$	-	$6$

Paso 8.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{9 x - 6}{4 x^{2} - 4 x - 24}$

Paso 8.15

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{- 9 x + 6}{- 4 x^{2} + 4 x + 24}$

Paso 8.16

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 2, 3$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 10