Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ no está definida.

$x = - 3, x = 0$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la derecha, entonces $x = - 3$ es una asíntota vertical.

$x = - 3$

Paso 3

Como $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 3, 0$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

Paso 8.1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Paso 8.1.1.3

Simplifica.

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Paso 8.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Paso 8.1.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

Paso 8.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + 3 x$ .

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

Paso 8.1.2.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Paso 8.1.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Paso 8.2

Expande $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.7

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.8

Reordena $x$ y $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.9

Elimina los paréntesis.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.10

Multiplica $- 1$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.13

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.14

Factoriza el negativo.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.18

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.19

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.20

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.21

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.22

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.23

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.24

Mueve $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.25

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.26

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.27

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.2.28

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

Paso 8.3

Expande $x (x + 3)$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Paso 8.3.2

Reordena $x$ y $3$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Paso 8.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Paso 8.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Paso 8.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

Paso 8.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Paso 8.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 8.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 8.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Paso 8.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 3 x^{2} + 0$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Paso 8.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

Paso 8.9

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

Paso 8.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Paso 8.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

Paso 8.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{2} - 9 x + 0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Paso 8.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

Paso 8.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

Paso 8.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x - 3$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 3, 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x - 3$

Paso 10