Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (2)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 2}{2 (2)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{- 2}{2 (2)}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{1}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (2)}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 3.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) - 1$

Paso 3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) - 1$

Paso 3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 1 - 1$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} - 1$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - 1$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - 1$

Paso 3.2.2.4

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 2}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $2$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Paso 3.2.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Paso 5