Precálculo Ejemplos

$f (x) = - 5 x^{2} - 15 x$

Paso 1

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 15}{2 (- 5)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 15}{2 (- 5)}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $- 15$ y $- 5$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $- 5$ de $- 15$ .

$x = - \frac{- 5 (3)}{2 (- 5)}$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $- 5$ de $2 (- 5)$ .

$x = - \frac{- 5 (3)}{- 5 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 \frac{9}{2^{2}} - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{9}{4}) - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $- 5 (\frac{9}{4})$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Combina $- 5$ y $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 9}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.6.2

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.8

Multiplica $- 15 (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 3.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 15$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + 15 (\frac{3}{2})$

Paso 3.2.1.8.2

Combina $15$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

Paso 3.2.1.8.3

Multiplica $15$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45}{2}$

Paso 3.2.2

Para escribir $\frac{45}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $\frac{45}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45 \cdot 2}{4}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45 + 45 \cdot 2}{4}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $45$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45 + 90}{4}$

Paso 3.2.5.2

Suma $- 45$ y $90$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{45}{4}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{4}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(- \frac{3}{2}, \frac{45}{4})$

Paso 5