Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 - x + x^{2}$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 1}{2 (1)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 1}{2 (1)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{- 1}{2 (1)}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = - \frac{- 1 (1)}{2 (1)}$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{1}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = 2 - (\frac{1}{2}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4 - 2 + 1}{4}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 - 2 + 1}{4}$

Paso 3.2.4.2

Resta $2$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 + 1}{4}$

Paso 3.2.4.3

Suma $6$ y $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$

Paso 3.2.5

La respuesta final es $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

Paso 5