Precálculo Ejemplos

$x^{2} - y^{2} = 81$

Paso 1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} = 81 - x^{2}$

Paso 2

Divide cada término en $- y^{2} = 81 - x^{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- y^{2} = 81 - x^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Paso 2.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Divide $81$ por $- 1$ .

$y^{2} = - 81 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Paso 2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y^{2} = - 81 + \frac{x^{2}}{1}$

Paso 2.3.1.3

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 81 + x^{2}$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- 81 + x^{2}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{- 81 + x^{2}}$ .

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9^{2} + x^{2}}$

Paso 4.1.2

Reordena $- 9^{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 9^{2}}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 9$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Paso 6

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 9) (x - 9)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 9) (x - 9) \geq 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Paso 7.2

Establece $x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.2.1

Establece $x + 9$ igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Paso 7.2.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 7.3

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 7.3.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 7.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 9) (x - 9) \geq 0$ verdadera.

$x = - 9, 9$

Paso 7.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 9$

$- 9 < x < 9$

$x > 9$

Paso 7.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 7.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

$((- 12) + 9) ((- 12) - 9) \geq 0$

Paso 7.6.1.3

$63$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 9 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 9 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 9) ((0) - 9) \geq 0$

Paso 7.6.2.3

$- 81$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 7.6.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$((12) + 9) ((12) - 9) \geq 0$

Paso 7.6.3.3

$63$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 9$ Verdadero

$- 9 < x < 9$ Falso

$x > 9$ Verdadero

$x < - 9$ Verdadero

$- 9 < x < 9$ Falso

$x > 9$ Verdadero

Paso 7.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 9$ o $x \geq 9$

Paso 8

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 9, x \geq 9}$

Paso 9

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 10

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 9] \cup [9, \infty), {x | x \leq - 9, x \geq 9}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 11