Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 2 x = - x^{2}$

Paso 1.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = - x^{2} - 2 x$

Paso 2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - 2 x}$

Paso 3

Factoriza $x$ de $- x^{2} - 2 x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x) - 2 x}$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x) + x \cdot - 2}$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x \cdot - 2$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x - 2)}$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

Paso 4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

Paso 5

Establece el radicando en $\sqrt{x (- x - 2)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x (- x - 2) \geq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$- x - 2 = 0$

Paso 6.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3

Establece $- x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.1

Establece $- x - 2$ igual a $0$ .

$- x - 2 = 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $- x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 2$

Paso 6.3.2.2

Divide cada término en $- x = 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Paso 6.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (- x - 2) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 6.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Paso 6.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 6.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$(- 4) (- (- 4) - 2) \geq 0$

Paso 6.6.1.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 6.6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$(- 1) (- (- 1) - 2) \geq 0$

Paso 6.6.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 6.6.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$(2) (- (2) - 2) \geq 0$

Paso 6.6.3.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 6.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x \leq 0$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 2, 0]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 0}$

Paso 8

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 1, 1]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 1 \leq y \leq 1}$

Paso 9

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 2, 0], {x | - 2 \leq x \leq 0}$

Rango: $[- 1, 1], {y | - 1 \leq y \leq 1}$

Paso 10