Precálculo Ejemplos

$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{49} = 1$

Paso 1

Suma $\frac{x^{2}}{49}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 + \frac{x^{2}}{49}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $9 (1 + \frac{x^{2}}{49})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 \frac{x^{2}}{49}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 \frac{x^{2}}{49}$

Paso 3.2.1.3

Combina $9$ y $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{9 x^{2}}{49}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{49}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{49}}$ .

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Paso 5.1

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \cdot \frac{49}{49} + \frac{9 x^{2}}{49}}$

Paso 5.2

Combina $9$ y $\frac{49}{49}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 49}{49} + \frac{9 x^{2}}{49}}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 49 + 9 x^{2}}{49}}$

Paso 5.4

Factoriza $9$ de $9 \cdot 49 + 9 x^{2}$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $9$ de $9 \cdot 49$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (49) + 9 x^{2}}{49}}$

Paso 5.4.2

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (49) + 9 (x^{2})}{49}}$

Paso 5.4.3

Factoriza $9$ de $9 (49) + 9 (x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (49 + x^{2})}{49}}$

Paso 5.5

Reescribe $\frac{9 (49 + x^{2})}{49}$ como ${(\frac{3}{7})}^{2} (7^{2} + x^{2})$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9 (49 + x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (7^{2} + x^{2})}{49}}$

Paso 5.5.2

Factoriza la potencia perfecta $7^{2}$ de $49$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (7^{2} + x^{2})}{7^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{3^{2} (7^{2} + x^{2})}{7^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} (7^{2} + x^{2})}$

Paso 5.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{3}{7} \sqrt{7^{2} + x^{2}}$

Paso 5.7

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$y = \pm \frac{3}{7} \sqrt{49 + x^{2}}$

Paso 5.8

Combina $\frac{3}{7}$ y $\sqrt{49 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{3 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{3 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{3 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = \frac{3 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{49 + x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$49 + x^{2} \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Resta $49$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq - 49$

Paso 8.2

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 9

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Rango: $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty), {y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Paso 12