Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{16}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{16}$ al numerador.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Paso 3.2.1.3.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Paso 3.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 3.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Paso 3.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Paso 5.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 5.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 5.1.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{4}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 5.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 5.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 5.7

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Paso 5.8

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Paso 5.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Paso 5.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Paso 5.11

Multiplica $\frac{4 + x}{2}$ por $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Paso 5.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Paso 5.13

Reescribe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Paso 5.13.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Paso 5.13.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.13.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Paso 5.14

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Paso 5.15

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Paso 8.2

Establece $4 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $4 + x$ igual a $0$ .

$4 + x = 0$

Paso 8.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 8.3

Establece $4 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $4 - x$ igual a $0$ .

$4 - x = 0$

Paso 8.3.2

Resuelve $4 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 8.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 8.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 4, 4$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 20$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$16$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 20$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x \leq 4$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 4, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 2, 2]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

Rango: $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

Paso 12