Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Paso 2

Simplifica $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

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Paso 2.1

Combina en una fracción.

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Paso 2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Paso 2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Suma $3$ y $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

Paso 2.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

Paso 2.2.3.4

Resta $4$ de $3$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

Paso 2.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

Paso 2.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

Paso 2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

Paso 2.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Simplifica $- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16})$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$ al numerador.

$- 16 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Paso 4.1.1.1.2

Factoriza $16$ de $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Paso 4.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Paso 4.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Paso 4.1.1.2

Multiplica.

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Paso 4.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Paso 4.1.1.2.2

Multiplica ${(y - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

${(y - 1)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Paso 4.2.1.2

Combina $16$ y $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

Paso 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

Paso 6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ como ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza la potencia perfecta ${(2^{2})}^{2}$ de $16 (x + 7) (x + 1)$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

Paso 6.1.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

Paso 6.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y - 1 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Paso 6.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y - 1 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Paso 6.4

Combina $\frac{4}{3}$ y $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 1 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - 1 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Paso 7.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Paso 7.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Paso 7.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Paso 7.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Paso 8

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 9.2

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 9.2.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 9.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 9.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ verdadera.

$x = - 7, - 1$

Paso 9.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Paso 9.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 9.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

Paso 9.6.1.3

$27$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

Paso 9.6.2.3

$- 9$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.6.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

Paso 9.6.3.3

$7$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadero

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadero

Paso 9.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 7$ o $x \geq - 1$

Paso 10

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Paso 11

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 12

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 13