Precálculo Ejemplos

$\frac{6}{5 x^{2} + 26 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ y cuya suma es $b = 26$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $26$ de $26 x$ .

$\frac{6}{5 x^{2} + 26 (x) + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $26$ como $1$ más $25$

$\frac{6}{5 x^{2} + (1 + 25) x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6}{5 x^{2} + 1 x + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Paso 1.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{6}{5 x^{2} + x + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{6}{(5 x^{2} + x) + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{6}{x (5 x + 1) + 5 (5 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x + 1$ .

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} + x - 20$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ .

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{5 x + 1}{5 x + 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{5 x + 1}{5 x + 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$ por $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ .

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{5 x + 1}{(x - 4) (x + 5) (5 x + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 4) (x + 5) (5 x + 1)$ .

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{5 x + 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (x - 4) - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x + 6 \cdot - 4 - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Paso 6.2

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$\frac{6 x - 24 - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x - 24 - (5 x) - 1 \cdot 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Paso 6.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{6 x - 24 - 5 x - 1 \cdot 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 x - 24 - 5 x - 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Paso 6.6

Resta $5 x$ de $6 x$ .

$\frac{x - 24 - 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Paso 6.7

Resta $1$ de $- 24$ .

$\frac{x - 25}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$