Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \sqrt{13}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 5

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 6.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{13^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{13 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{13 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.5

Multiplica $- (4 \cdot 3)$ .

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{13 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{\sqrt{13 - 12}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.6

Resta $12$ de $13$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.1.7

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{13}}$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Paso 6.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 6.3.2

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Paso 6.3.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Paso 6.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Paso 6.3.6

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{13}}{13^{1}}$

Paso 6.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

Forma decimal:

$0.27735009 \dots$

Paso 8