Precálculo Ejemplos

$p (x) = 4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$4 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - \frac{3}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$4 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.3

Multiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$4 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$4 \frac{81}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$4 (\frac{81}{16}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 \frac{81}{4 (4)} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.6.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{81}{4 \cdot 4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.11

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.1.11.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{4} - 27 - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.12

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.12.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.12.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.14

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.15

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{9}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (\frac{9}{4}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.17

Multiplica $- 7 (\frac{9}{4})$ .

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Paso 4.1.17.1

Combina $- 7$ y $\frac{9}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 7 \cdot 9}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.17.2

Multiplica $- 7$ por $9$ .

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.19

Multiplica $- 21 (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 4.1.19.1

Multiplica $- 1$ por $- 21$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + 21 (\frac{3}{2}) - 9$

Paso 4.1.19.2

Combina $21$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{21 \cdot 3}{2} - 9$

Paso 4.1.19.3

Multiplica $21$ por $3$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{63}{2} - 9$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 27 - 9 + \frac{81 - 63}{4} + \frac{63}{2}$

Paso 4.2.2

Resta $63$ de $81$ .

$- 27 - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Paso 4.3

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.1

Escribe $- 27$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 27}{1} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Paso 4.3.4

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Paso 4.3.7

Multiplica $\frac{63}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.3.8

Multiplica $\frac{63}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{4}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 27 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$\frac{- 108 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Paso 4.5.3

Multiplica $63$ por $2$ .

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 126}{4}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Resta $36$ de $- 108$ .

$\frac{- 144 + 18 + 126}{4}$

Paso 4.6.2

Suma $- 144$ y $18$ .

$\frac{- 126 + 126}{4}$

Paso 4.6.3

Suma $- 126$ y $126$ .

$\frac{0}{4}$

Paso 4.6.4

Divide $0$ por $4$ .

$0$

Paso 5

Como $- \frac{3}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + \frac{3}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + \frac{3}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(8)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$	$2$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$	$- 10$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 10)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 21)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 6)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (- 10) x - 6$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$

Paso 7

Factoriza $2$ de $4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} - 10 x - 6)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) - 10 x - 6)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $- 10 x$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) - 6)$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Paso 7.6

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x)$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Paso 7.7

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 8.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Paso 8.1.3

Sustituye $- 1.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 8.1.3.1

Sustituye $- 1.5$ en el polinomio.

$4 {(- 1.5)}^{4} + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.2

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $4$ .

$4 \cdot 5.0625 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $4$ por $5.0625$ .

$20.25 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.4

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $3$ .

$20.25 + 8 \cdot - 3.375 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.5

Multiplica $8$ por $- 3.375$ .

$20.25 - 27 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.6

Resta $27$ de $20.25$ .

$- 6.75 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.7

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $2$ .

$- 6.75 - 7 \cdot 2.25 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.8

Multiplica $- 7$ por $2.25$ .

$- 6.75 - 15.75 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.9

Resta $15.75$ de $- 6.75$ .

$- 22.5 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Paso 8.1.3.10

Multiplica $- 21$ por $- 1.5$ .

$- 22.5 + 31.5 - 9$

Paso 8.1.3.11

Suma $- 22.5$ y $31.5$ .

$9 - 9$

Paso 8.1.3.12

Resta $9$ de $9$ .

$0$

Paso 8.1.4

Como $- 1.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{2 x + 3}$

Paso 8.1.5

Divide $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ por $2 x + 3$ .

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Paso 8.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

Paso 8.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

Paso 8.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

Paso 8.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{4} + 6 x^{3}$ .

				$2 x^{3}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$

Paso 8.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

Paso 8.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

Paso 8.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

Paso 8.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

Paso 8.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 3 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

Paso 8.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

Paso 8.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

Paso 8.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 10 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

Paso 8.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							-	$10 x^{2}$	-	$15 x$

Paso 8.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 10 x^{2} - 15 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

Paso 8.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

Paso 8.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

$9$

Paso 8.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$

Paso 8.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									-	$6 x$	-	$9$

Paso 8.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x - 9$ .

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$

Paso 8.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$
												$0$

Paso 8.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$

Paso 8.1.6

Escribe $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ como un conjunto de factores.

$(2 x + 3) (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Paso 8.2

Factoriza $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 8.2.1

Factoriza $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 8.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Paso 8.2.1.3

Sustituye $- 1.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 8.2.1.3.1

Sustituye $- 1.5$ en el polinomio.

$2 {(- 1.5)}^{3} + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Paso 8.2.1.3.2

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 3.375 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Paso 8.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 3.375$ .

$- 6.75 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Paso 8.2.1.3.4

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $2$ .

$- 6.75 + 2.25 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Paso 8.2.1.3.5

Suma $- 6.75$ y $2.25$ .

$- 4.5 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Paso 8.2.1.3.6

Multiplica $- 5$ por $- 1.5$ .

$- 4.5 + 7.5 - 3$

Paso 8.2.1.3.7

Suma $- 4.5$ y $7.5$ .

$3 - 3$

Paso 8.2.1.3.8

Resta $3$ de $3$ .

$0$

Paso 8.2.1.4

Como $- 1.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3}{2 x + 3}$

Paso 8.2.1.5

Divide $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ por $2 x + 3$ .

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Paso 8.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

Paso 8.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

Paso 8.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 8.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 8.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 8.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 8.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 8.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 8.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 8.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Paso 8.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

Paso 8.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

Paso 8.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							-	$2 x$	-	$3$

Paso 8.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x - 3$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$

Paso 8.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$
										$0$

Paso 8.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - x - 1$

Paso 8.2.1.6

Escribe $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ como un conjunto de factores.

$(2 x + 3) ((2 x + 3) (x^{2} - x - 1)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Paso 8.3

Combina factores semejantes.

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Paso 8.3.1

Eleva $2 x + 3$ a la potencia de $1$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Paso 8.3.2

Eleva $2 x + 3$ a la potencia de $1$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Paso 8.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} - x - 1) = 0$

Paso 8.3.4

Suma $1$ y $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Paso 10

Establece ${(2 x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece ${(2 x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

Paso 10.2

Resuelve ${(2 x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Paso 10.2.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 10.2.2.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 10.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 10.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 10.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 11

Establece $x^{2} - x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} - x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - x - 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} - x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 11.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3

Simplifica.

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Paso 11.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 11.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 11.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 11.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 11.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 11.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 11.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 11.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 11.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 11.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 1.5, 1.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$

Forma de número mixto:

$x = - 1 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 14