Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Paso 4.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

Paso 4.1.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $1$ y $3$ .

$4 - 6 - 6 + 8$

Paso 4.2.2

Resta $6$ de $4$ .

$- 2 - 6 + 8$

Paso 4.2.3

Resta $6$ de $- 2$ .

$- 8 + 8$

Paso 4.2.4

Suma $- 8$ y $8$ .

$0$

Paso 5

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 2)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(8)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(8)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 4$ .

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Reagrupa los términos.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Paso 9.2

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 6 x$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Paso 9.2.2

Factoriza $- 3 x$ de $6 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Paso 9.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Paso 9.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Paso 9.5

Factoriza $u^{2} - 6 u + 8$ con el método AC.

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Paso 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 9.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

Paso 9.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 9.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 9.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 9.9

Factoriza $x^{2} - 2$ de $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

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Paso 9.9.1

Factoriza $x^{2} - 2$ de $- 3 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 9.9.2

Factoriza $x^{2} - 2$ de $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 9.9.3

Factoriza $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 9.10

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Paso 9.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Paso 9.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 9.11

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 9.11.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 9.11.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 9.11.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 9.12

Simplifica cada término.

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Paso 9.12.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 9.12.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Paso 9.13

Reordena los términos.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Paso 9.14

Factoriza.

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Paso 9.14.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 9.14.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 9.14.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Paso 9.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 11

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 11.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 11.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 11.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 12

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 12.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 13

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 13.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

Paso 16