Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{3} - {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 \cdot 1 + 4 (1) - 4$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 + 4 (1) - 4$

Paso 4.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 - 1 + 4 - 4$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 + 4 - 4$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$4 - 4$

Paso 4.2.3

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 4 x - 4}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$
	$1$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$	$4$
	$1$	$0$	$4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$	$4$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 0 x + 4$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 4$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 7.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 7.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 7.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 7.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 7.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 7.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 7.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 7.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 7.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 7.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 7.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 1) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ .

$x = 1, 2 i, - 2 i$

Paso 10