Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 14, \pm 28$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Paso 4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{1 + 3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Paso 4.1.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$2^{4} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Paso 4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 28$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$16 - 16 - 14 \cdot 2 + 28$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 14$ por $2$ .

$16 - 16 - 28 + 28$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$0 - 28 + 28$

Paso 4.2.2

Resta $28$ de $0$ .

$- 28 + 28$

Paso 4.2.3

Suma $- 28$ y $28$ .

$0$

Paso 5

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28}{x - 2}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 14)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$	$- 14$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 14)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(- 28)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(28)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 0 x - 14$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} - 14$

Paso 7

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 14$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (x^{2}) - 14)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$(x - 2) (2 x^{2} + 2 \cdot - 7)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 7$ .

$(x - 2) (2 (x^{2} - 7))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 14 x + 28 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 14 x + 28 = 0$

Paso 8.1.3

Factoriza $2$ de $- 14 x$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 28 = 0$

Paso 8.1.4

Factoriza $2$ de $28$ .

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Paso 8.1.5

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Paso 8.1.6

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Paso 8.1.7

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14) = 0$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 7 x + 14) = 0$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (x^{2} (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

Paso 8.3

Factoriza.

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Paso 8.3.1

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 2$ .

$2 ((x - 2) (x^{2} - 7)) = 0$

Paso 8.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

Paso 10

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 10.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 11

Establece $x^{2} - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} - 7$ igual a $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 7$

Paso 11.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{7}$

Paso 11.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{7}$

Paso 11.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{7}$

Paso 11.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$ verdadera.

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forma decimal:

$x = 2, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Paso 14