Precálculo Ejemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 14 \\ c = \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 55 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Paso 1

El teorema de los senos produce un resultado de ángulo ambiguo. Esto significa que hay $2$ ángulos que resolverán correctamente la ecuación. Para el primer triángulo, usa el valor del primer ángulo posible.

Resuelve el primer triángulo.

Paso 2

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $14$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica $14 \frac{\sin (55)}{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\sin (B) = 2 (7) \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Paso 4.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (55)}{6}$

Paso 4.2.2.1.2

Combina $7$ y $\frac{\sin (55)}{6}$ .

$\sin (B) = \frac{7 \sin (55)}{6}$

Paso 4.2.2.1.3

Evalúa $\sin (55)$ .

$\sin (B) = \frac{7 \cdot 0.81915204}{6}$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $7$ por $0.81915204$ .

$\sin (B) = \frac{5.73406431}{6}$

Paso 4.2.2.1.5

Divide $5.73406431$ por $6$ .

$\sin (B) = 0.95567738$

Paso 4.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $B$ del interior de seno.

$B = \arcsin (0.95567738)$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Evalúa $\arcsin (0.95567738)$ .

$B = 72.87748312$

Paso 4.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 72.87748312$

Paso 4.6

Resta $72.87748312$ de $180$ .

$B = 107.12251687$

Paso 4.7

La solución a la ecuación $B = 72.87748312$ .

$B = 72.87748312, 107.12251687$

Paso 5

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$55 + C + 72.87748312 = 180$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 6.1

Suma $55$ y $72.87748312$ .

$C + 127.87748312 = 180$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $127.87748312$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 127.87748312$

Paso 6.2.2

Resta $127.87748312$ de $180$ .

$C = 52.12251687$

Paso 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 8

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $c$ .

$\frac{\sin (52.12251687)}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $c$ .

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Paso 9.1

Factoriza cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Evalúa $\sin (52.12251687)$ .

$\frac{0.78932543}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 9.1.2

Evalúa $\sin (55)$ .

$\frac{0.78932543}{c} = \frac{0.81915204}{12}$

Paso 9.1.3

Divide $0.81915204$ por $12$ .

$\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$

Paso 9.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 9.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$c, 1$

Paso 9.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$c$

Paso 9.3

Multiplica cada término en $\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$ por $c$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$ por $c$ .

$\frac{0.78932543}{c} c = 0.06826267 c$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.78932543}{c} c = 0.06826267 c$

Paso 9.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.78932543 = 0.06826267 c$

Paso 9.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Reescribe la ecuación como $0.06826267 c = 0.78932543$ .

$0.06826267 c = 0.78932543$

Paso 9.4.2

Divide cada término en $0.06826267 c = 0.78932543$ por $0.06826267$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.1

Divide cada término en $0.06826267 c = 0.78932543$ por $0.06826267$ .

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Paso 9.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.06826267$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Paso 9.4.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Paso 9.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.3.1

Divide $0.78932543$ por $0.06826267$ .

$c = 11.56306118$

Paso 10

Para el segundo triángulo: usa el valor del segundo ángulo posible.

Resuelve el segundo triángulo.

Paso 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 12

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 13

Resuelve la ecuación en $B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 13.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común de $14$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 13.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 13.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1

Simplifica $14 \frac{\sin (55)}{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\sin (B) = 2 (7) \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 13.2.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Paso 13.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Paso 13.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (55)}{6}$

Paso 13.2.2.1.2

Combina $7$ y $\frac{\sin (55)}{6}$ .

$\sin (B) = \frac{7 \sin (55)}{6}$

Paso 13.2.2.1.3

Evalúa $\sin (55)$ .

$\sin (B) = \frac{7 \cdot 0.81915204}{6}$

Paso 13.2.2.1.4

Multiplica $7$ por $0.81915204$ .

$\sin (B) = \frac{5.73406431}{6}$

Paso 13.2.2.1.5

Divide $5.73406431$ por $6$ .

$\sin (B) = 0.95567738$

Paso 13.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $B$ del interior de seno.

$B = \arcsin (0.95567738)$

Paso 13.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.1

Evalúa $\arcsin (0.95567738)$ .

$B = 72.87748312$

Paso 13.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 72.87748312$

Paso 13.6

Resta $72.87748312$ de $180$ .

$B = 107.12251687$

Paso 13.7

La solución a la ecuación $B = 72.87748312$ .

$B = 72.87748312, 107.12251687$

Paso 14

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$55 + C + 107.12251687 = 180$

Paso 15

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 15.1

Suma $55$ y $107.12251687$ .

$C + 162.12251687 = 180$

Paso 15.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Resta $162.12251687$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 162.12251687$

Paso 15.2.2

Resta $162.12251687$ de $180$ .

$C = 17.87748312$

Paso 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 17

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $c$ .

$\frac{\sin (17.87748312)}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 18

Resuelve la ecuación en $c$ .

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Paso 18.1

Factoriza cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1

Evalúa $\sin (17.87748312)$ .

$\frac{0.30698262}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Paso 18.1.2

Evalúa $\sin (55)$ .

$\frac{0.30698262}{c} = \frac{0.81915204}{12}$

Paso 18.1.3

Divide $0.81915204$ por $12$ .

$\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$

Paso 18.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 18.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$c, 1$

Paso 18.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$c$

Paso 18.3

Multiplica cada término en $\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$ por $c$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$ por $c$ .

$\frac{0.30698262}{c} c = 0.06826267 c$

Paso 18.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.2.1

Cancela el factor común de $c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.30698262}{c} c = 0.06826267 c$

Paso 18.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.30698262 = 0.06826267 c$

Paso 18.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.1

Reescribe la ecuación como $0.06826267 c = 0.30698262$ .

$0.06826267 c = 0.30698262$

Paso 18.4.2

Divide cada término en $0.06826267 c = 0.30698262$ por $0.06826267$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.2.1

Divide cada término en $0.06826267 c = 0.30698262$ por $0.06826267$ .

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Paso 18.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.06826267$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Paso 18.4.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Paso 18.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.2.3.1

Divide $0.30698262$ por $0.06826267$ .

$c = 4.49707903$

Paso 19

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

Combinación del primer triángulo:

$A = 55$

$B = 72.87748312$

$C = 52.12251687$

$a = 12$

$b = 14$

$c = 11.56306118$

Combinación del segundo triángulo:

$A = 55$

$B = 107.12251687$

$C = 17.87748312$

$a = 12$

$b = 14$

$c = 4.49707903$