Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{4} - x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2}}$

Paso 1

Divide con la división polinómica larga.

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} - x^{3} + 0 + 0$ .

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Paso 1.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{3}$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2} + 0 + 0$ .

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															+	$4$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + 1 + \frac{4}{x^{3} - x^{2}}$

Paso 2

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} - x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{2} x - x^{2}}$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Paso 2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{4}{x^{2} (x - 1)}$

Paso 2.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

Paso 2.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.5.2

Divide $4$ por $1$ .

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.6.1.1

Cancela el factor común.

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.1.2

Divide $A (x - 1)$ por $1$ .

$4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.6.5.1

Factoriza $x$ de $B (x^{2} (x - 1))$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.5.2.3

Cancela el factor común.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.5.2.4

Reescribe la expresión.

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.5.2.5

Divide $B (x (x - 1))$ por $1$ .

$4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.7

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.9

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.10

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.12

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.6.12.1

Cancela el factor común.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.12.2

Divide $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Mueve $B$ .

$4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

Paso 2.7.2

Mueve $- A$ .

$4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

Paso 2.7.3

Mueve $- x B$ .

$4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

Paso 2.7.4

Mueve $A x$ .

$4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

Paso 3

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B + C$

Paso 3.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A - 1 B$

Paso 3.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = - 1 A$

Paso 3.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.1

Resuelve $A$ en $4 = - 1 A$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = 4$ .

$- 1 A = 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Paso 4.1.2

Divide cada término en $- 1 A = 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Paso 4.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Paso 4.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.2.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 4.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A - 1 B$ por $- 4$ .

$0 = (- 4) - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Paso 4.3

Resuelve $B$ en $0 = - 4 - B$ .

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $- 4 - B = 0$ .

$- 4 - B = 0$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Paso 4.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$- B = 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Paso 4.3.3

Divide cada término en $- B = 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Divide cada término en $- B = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Paso 4.3.3.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Paso 4.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Paso 4.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 4.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = B + C$ por $- 4$ .

$0 = (- 4) + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

Paso 4.5

Resuelve $C$ en $0 = - 4 + C$ .

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Paso 4.5.1

Reescribe la ecuación como $- 4 + C = 0$ .

$- 4 + C = 0$

$B = - 4$

$A = - 4$

Paso 4.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

Paso 4.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$C = 4 B = - 4 A = - 4$

Paso 4.7

Enumera todas las soluciones.

$C = 4, B = - 4, A = - 4$

Paso 5

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $x + 1 + \frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$x + 1 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$