Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Paso 1

Divide con la división polinómica larga.

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Paso 1.1

Expande $x (x^{2} + 1)$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Paso 1.1.2

Reordena $x$ y $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Paso 1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

Paso 1.1.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Paso 1.2

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 1.3

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 1.4

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Paso 1.5

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Paso 1.6

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

Paso 1.7

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

Paso 1.8

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Paso 2

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

Paso 2.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Paso 2.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Paso 2.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.5.2

Divide $2 x^{2} + 1$ por $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.6.1.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6.1.2

Divide $A (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 2.6.4.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Paso 2.6.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Paso 2.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Paso 2.6.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.6.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 2.6.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Paso 2.7

Mueve $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Paso 3

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 3.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 3.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 3.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

Paso 4.2

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A + B$ por $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 4.4

Resuelve $B$ en $2 = 1 + B$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 4.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 4.4.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 4.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Paso 4.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Paso 5

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Paso 6.2

Suma $(1) \cdot x$ y $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Paso 6.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$