Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Paso 1.4.2

Divide $x^{2} + 6 x + 1$ por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.1.2

Divide $A x + B$ por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ y $x^{2} + 4$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 4)}{1}$

Paso 1.5.2.2.4

Divide $(C x + D) (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 4)$

Paso 1.5.3

Expande $(C x + D) (x^{2} + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x (x^{2} + 4) + D (x^{2} + 4)$

Paso 1.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D (x^{2} + 4)$

Paso 1.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Paso 1.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Paso 1.5.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.5.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Paso 1.5.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Paso 1.5.4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Paso 1.5.4.2

Mueve $4$ a la izquierda de $C x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 4$

Paso 1.5.4.3

Mueve $4$ a la izquierda de $D$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + 4 D$

Paso 1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.6.1

Mueve $B$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + B + 4 D$

Paso 1.6.2

Mueve $4 C x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 4 C x + B + 4 D$

Paso 1.6.3

Mueve $A x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 4 C x + B + 4 D$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = D$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = A + 4 C$

Paso 2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = B + 4 D$

Paso 2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reescribe la ecuación como $D = 1$ .

$D = 1$

$C = 0$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Paso 3.2.2

Reemplaza todos los casos de $C$ en $6 = A + 4 C$ por $0$ .

$6 = A + 4 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica $A + 4 (0)$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$6 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Paso 3.2.3.1.2

Suma $A$ y $0$ .

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $D$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 6$ .

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Paso 3.3.2

Reemplaza todos los casos de $D$ en $1 = B + 4 D$ por $1$ .

$1 = B + 4 (1)$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 3.4

Resuelve $B$ en $1 = B + 4$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $B + 4 = 1$ .

$B + 4 = 1$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 1 - 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 3.4.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Paso 3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 3 A = 6 D = 1 C = 0$

Paso 3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = - 3, A = 6, D = 1, C = 0$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $6$ por $x$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 4}$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

Paso 5.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4}$