Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 4 x + 2}{(x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x + 2) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{(x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)} = \frac{(A) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x + 2} + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 4 x + 2) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{(x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)} = \frac{(A) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x + 2} + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 4 x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6} = \frac{(A) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x + 2} + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 22 x + 6$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 4 x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6} = \frac{(A) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x + 2} + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.5.2

Divide $x^{2} + 4 x + 2$ por $1$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = \frac{(A) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x + 2} + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 4 x + 2 = \frac{A (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x + 2} + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.6.1.2

Divide $(A) (x^{2} + 22 x + 6)$ por $1$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = (A) (x^{2} + 22 x + 6) + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + A (22 x) + A \cdot 6 + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.6.3

Simplifica.

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Paso 1.6.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + A \cdot 6 + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.6.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $A$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 22 x + 6$ .

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Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + \frac{(B x + C) (x + 2) (x^{2} + 22 x + 6)}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(B x + C) (x + 2)$ por $1$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + (B x + C) (x + 2)$

Paso 1.6.5

Expande $(B x + C) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + B x (x + 2) + C (x + 2)$

Paso 1.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + B x \cdot x + B x \cdot 2 + C (x + 2)$

Paso 1.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + B x \cdot x + B x \cdot 2 + C x + C \cdot 2$

Paso 1.6.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.6.1.1

Mueve $x$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 2 + C x + C \cdot 2$

Paso 1.6.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + B x^{2} + B x \cdot 2 + C x + C \cdot 2$

Paso 1.6.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $B x$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + B x^{2} + 2 \cdot (B x) + C x + C \cdot 2$

Paso 1.6.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 A x + 6 A + B x^{2} + 2 B x + C x + 2 C$

Paso 1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.1

Mueve $A$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 x A + 6 A + B x^{2} + 2 B x + C x + 2 C$

Paso 1.7.2

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 x A + 6 A + B x^{2} + 2 B x + C x + 2 C$

Paso 1.7.3

Mueve $B$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 x A + 6 A + B x^{2} + 2 x B + C x + 2 C$

Paso 1.7.4

Mueve $6 A$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + 22 x A + B x^{2} + 2 x B + C x + 6 A + 2 C$

Paso 1.7.5

Mueve $22 x A$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = A x^{2} + B x^{2} + 22 x A + 2 x B + C x + 6 A + 2 C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = 22 A + 2 B + C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$4 = 22 A + 2 B + C$

$2 = 6 A + 2 C$

$1 = A + B$

$4 = 22 A + 2 B + C$

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$4 = 22 A + 2 B + C$

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$4 = 22 A + 2 B + C$

$2 = 6 A + 2 C$

$A = 1 - B$

$4 = 22 A + 2 B + C$

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $4 = 22 A + 2 B + C$ por $1 - B$ .

$4 = 22 (1 - B) + 2 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $22 (1 - B) + 2 B + C$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = 22 \cdot 1 + 22 (- B) + 2 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $22$ por $1$ .

$4 = 22 + 22 (- B) + 2 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $22$ .

$4 = 22 - 22 B + 2 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 A + 2 C$

$4 = 22 - 22 B + 2 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $- 22 B$ y $2 B$ .

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 A + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 A + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 A + 2 C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = 6 A + 2 C$ por $1 - B$ .

$2 = 6 (1 - B) + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = 6 \cdot 1 + 6 (- B) + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.4.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$2 = 6 + 6 (- B) + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

$A = 1 - B$

Paso 3.3

Reordena $1$ y $- B$ .

$A = - B + 1$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

$4 = 22 - 20 B + C$

Paso 3.4

Resuelve $C$ en $4 = 22 - 20 B + C$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $22 - 20 B + C = 4$ .

$22 - 20 B + C = 4$

$A = - B + 1$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

Paso 3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Resta $22$ de ambos lados de la ecuación.

$- 20 B + C = 4 - 22$

$A = - B + 1$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

Paso 3.4.2.2

Suma $20 B$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 4 - 22 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

Paso 3.4.2.3

Resta $22$ de $4$ .

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 6 - 6 B + 2 C$

Paso 3.5

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 18 + 20 B$ en cada ecuación.

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Paso 3.5.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $2 = 6 - 6 B + 2 C$ por $- 18 + 20 B$ .

$2 = 6 - 6 B + 2 (- 18 + 20 B)$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $6 - 6 B + 2 (- 18 + 20 B)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = 6 - 6 B + 2 \cdot - 18 + 2 (20 B)$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.5.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 18$ .

$2 = 6 - 6 B - 36 + 2 (20 B)$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.5.2.1.1.3

Multiplica $20$ por $2$ .

$2 = 6 - 6 B - 36 + 40 B$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 6 - 6 B - 36 + 40 B$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Resta $36$ de $6$ .

$2 = - 6 B - 30 + 40 B$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.5.2.1.2.2

Suma $- 6 B$ y $40 B$ .

$2 = 34 B - 30$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 34 B - 30$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 34 B - 30$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 34 B - 30$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$2 = 34 B - 30$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6

Resuelve $B$ en $2 = 34 B - 30$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $34 B - 30 = 2$ .

$34 B - 30 = 2$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.6.2.1

Suma $30$ a ambos lados de la ecuación.

$34 B = 2 + 30$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.2.2

Suma $2$ y $30$ .

$34 B = 32$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$34 B = 32$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.3

Divide cada término en $34 B = 32$ por $34$ y simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Divide cada término en $34 B = 32$ por $34$ .

$\frac{34 B}{34} = \frac{32}{34}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $34$ .

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Paso 3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{34 B}{34} = \frac{32}{34}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{32}{34}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{32}{34}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{32}{34}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.3.1

Cancela el factor común de $32$ y $34$ .

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Paso 3.6.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$B = \frac{2 (16)}{34}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $34$ .

$B = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 17}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$B = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 17}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.6.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{16}{17}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{16}{17}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{16}{17}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{16}{17}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{16}{17}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{16}{17}$

$C = - 18 + 20 B$

$A = - B + 1$

Paso 3.7

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{16}{17}$ en cada ecuación.

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Paso 3.7.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = - 18 + 20 B$ por $\frac{16}{17}$ .

$C = - 18 + 20 (\frac{16}{17})$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.2.1

Simplifica $- 18 + 20 (\frac{16}{17})$ .

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Paso 3.7.2.1.1

Multiplica $20 (\frac{16}{17})$ .

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Paso 3.7.2.1.1.1

Combina $20$ y $\frac{16}{17}$ .

$C = - 18 + \frac{20 \cdot 16}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

Paso 3.7.2.1.1.2

Multiplica $20$ por $16$ .

$C = - 18 + \frac{320}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

$C = - 18 + \frac{320}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

Paso 3.7.2.1.2

Para escribir $- 18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{17}{17}$ .

$C = - 18 \cdot \frac{17}{17} + \frac{320}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

Paso 3.7.2.1.3

Combina $- 18$ y $\frac{17}{17}$ .

$C = \frac{- 18 \cdot 17}{17} + \frac{320}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

Paso 3.7.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{- 18 \cdot 17 + 320}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

Paso 3.7.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.2.1.5.1

Multiplica $- 18$ por $17$ .

$C = \frac{- 306 + 320}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

Paso 3.7.2.1.5.2

Suma $- 306$ y $320$ .

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = - B + 1$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B + 1$ por $\frac{16}{17}$ .

$A = - (\frac{16}{17}) + 1$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

Paso 3.7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.4.1

Simplifica $- (\frac{16}{17}) + 1$ .

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Paso 3.7.4.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = - \frac{16}{17} + \frac{17}{17}$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

Paso 3.7.4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{- 16 + 17}{17}$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

Paso 3.7.4.1.3

Suma $- 16$ y $17$ .

$A = \frac{1}{17}$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = \frac{1}{17}$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = \frac{1}{17}$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

$A = \frac{1}{17}$

$C = \frac{14}{17}$

$B = \frac{16}{17}$

Paso 3.8

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{17}, C = \frac{14}{17}, B = \frac{16}{17}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 22 x + 6}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{1}{17}}{x + 2} + \frac{\frac{16}{17 x} + \frac{14}{17}}{x^{2} + 22 x + 6}$

Paso 5

Combina $\frac{16}{17}$ y $x$ .

$\frac{\frac{1}{17}}{x + 2} + \frac{\frac{16 x}{17} + \frac{14}{17}}{x^{2} + 22 x + 6}$