Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 49$ , $y = x - 3$

Paso 1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $x - 3$ en cada ecuación.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} = 49$ por $x - 3$ .

$x^{2} + {(x - 3)}^{2} = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Simplifica $x^{2} + {(x - 3)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$x^{2} + (x - 3) (x - 3) = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x (x - 3) - 3 (x - 3) = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 49$

$y = x - 3$

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$x^{2} + x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$x^{2} + x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} + x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$x^{2} + x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$x^{2} + x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

Paso 1.2.1.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

Paso 2

Resuelve $x$ en $2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$ .

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Paso 2.1

Resta $49$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 6 x + 9 - 49 = 0$

$y = x - 3$

Paso 2.2

Resta $49$ de $9$ .

$2 x^{2} - 6 x - 40 = 0$

$y = x - 3$

Paso 2.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 6 x - 40$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 6 x - 40 = 0$

$y = x - 3$

Paso 2.3.2

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) - 40 = 0$

$y = x - 3$

Paso 2.3.3

Factoriza $2$ de $- 40$ .

$2 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 \cdot - 20 = 0$

$y = x - 3$

Paso 2.3.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 3 x)$ .

$2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot - 20 = 0$

$y = x - 3$

Paso 2.3.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot - 20$ .

$2 (x^{2} - 3 x - 20) = 0$

$y = x - 3$

$2 (x^{2} - 3 x - 20) = 0$

$y = x - 3$

Paso 2.4

Divide cada término en $2 (x^{2} - 3 x - 20) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $2 (x^{2} - 3 x - 20) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 x - 20)}{2} = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} - 3 x - 20)}{2} = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $x^{2} - 3 x - 20$ por $1$ .

$x^{2} - 3 x - 20 = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

$x^{2} - 3 x - 20 = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

$x^{2} - 3 x - 20 = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{2} - 3 x - 20 = 0$

$y = x - 3$

$x^{2} - 3 x - 20 = 0$

$y = x - 3$

$x^{2} - 3 x - 20 = 0$

$y = x - 3$

Paso 2.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = x - 3$

Paso 2.6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = - 20$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Paso 2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.7.1.3

Suma $9$ y $80$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Paso 2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Paso 2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.8.1.3

Suma $9$ y $80$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Paso 2.8.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Paso 2.9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Paso 2.9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.9.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.9.1.3

Suma $9$ y $80$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Paso 2.9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Paso 2.9.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Paso 2.10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{3 + \sqrt{89}}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x - 3$ por $\frac{3 + \sqrt{89}}{2}$ .

$y = (\frac{3 + \sqrt{89}}{2}) - 3$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(\frac{3 + \sqrt{89}}{2}) - 3$ .

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Paso 3.2.1.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{89}}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{89}}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 + \sqrt{89} - 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{89} - 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{89} - 6}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Resta $6$ de $3$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = \frac{- 3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.2.1.4.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2.1.4.2

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{89}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{89})}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{89})$ .

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{89})}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 3.2.1.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{3 - \sqrt{89}}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x - 3$ por $\frac{3 - \sqrt{89}}{2}$ .

$y = (\frac{3 - \sqrt{89}}{2}) - 3$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $(\frac{3 - \sqrt{89}}{2}) - 3$ .

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Paso 4.2.1.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{89}}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{89}}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 - \sqrt{89} - 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{89} - 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{89} - 6}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2.1.3.2

Resta $6$ de $3$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = \frac{- 3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2.1.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.2.1.4.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2.1.4.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{89}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{89})}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2.1.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (\sqrt{89})$ .

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{89})}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 4.2.1.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{3 + \sqrt{89}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{89}}{2})$

$(\frac{3 - \sqrt{89}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{89}}{2})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{3 + \sqrt{89}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}), (\frac{3 - \sqrt{89}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{89}}{2})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}, y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Paso 7