Precálculo Ejemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 17 \\ c = & 19 \\ a = & 15 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$A = \arccos (\frac{{(17)}^{2} + {(19)}^{2} - {(15)}^{2}}{2 (17) (19)})$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{289 + 19^{2} - 15^{2}}{2 (17) \cdot 19})$

Paso 4.1.2

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{289 + 361 - 15^{2}}{2 (17) \cdot 19})$

Paso 4.1.3

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{289 + 361 - 1 \cdot 225}{2 (17) \cdot 19})$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $225$ .

$A = \arccos (\frac{289 + 361 - 225}{2 (17) \cdot 19})$

Paso 4.1.5

Suma $289$ y $361$ .

$A = \arccos (\frac{650 - 225}{2 (17) \cdot 19})$

Paso 4.1.6

Resta $225$ de $650$ .

$A = \arccos (\frac{425}{2 (17) \cdot 19})$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $17$ .

$A = \arccos (\frac{425}{34 \cdot 19})$

Paso 4.2.2

Multiplica $34$ por $19$ .

$A = \arccos (\frac{425}{646})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $425$ y $646$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $17$ de $425$ .

$A = \arccos (\frac{17 (25)}{646})$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $17$ de $646$ .

$A = \arccos (\frac{17 \cdot 25}{17 \cdot 38})$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$A = \arccos (\frac{17 \cdot 25}{17 \cdot 38})$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \arccos (\frac{25}{38})$

Paso 4.4

Evalúa $\arccos (\frac{25}{38})$ .

$A = 48.86048958$

Paso 5

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 6

Resuelve la ecuación.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$B = \arccos (\frac{{(15)}^{2} + {(19)}^{2} - {(17)}^{2}}{2 (15) (19)})$

Paso 8

Simplifica los resultados.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{225 + 19^{2} - 17^{2}}{2 (15) \cdot 19})$

Paso 8.1.2

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{225 + 361 - 17^{2}}{2 (15) \cdot 19})$

Paso 8.1.3

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{225 + 361 - 1 \cdot 289}{2 (15) \cdot 19})$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $289$ .

$B = \arccos (\frac{225 + 361 - 289}{2 (15) \cdot 19})$

Paso 8.1.5

Suma $225$ y $361$ .

$B = \arccos (\frac{586 - 289}{2 (15) \cdot 19})$

Paso 8.1.6

Resta $289$ de $586$ .

$B = \arccos (\frac{297}{2 (15) \cdot 19})$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $15$ .

$B = \arccos (\frac{297}{30 \cdot 19})$

Paso 8.2.2

Multiplica $30$ por $19$ .

$B = \arccos (\frac{297}{570})$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $297$ y $570$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $3$ de $297$ .

$B = \arccos (\frac{3 (99)}{570})$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $3$ de $570$ .

$B = \arccos (\frac{3 \cdot 99}{3 \cdot 190})$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

$B = \arccos (\frac{3 \cdot 99}{3 \cdot 190})$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \arccos (\frac{99}{190})$

Paso 8.4

Evalúa $\arccos (\frac{99}{190})$ .

$B = 58.59711353$

Paso 9

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$48.86048958 + C + 58.59711353 = 180$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 10.1

Suma $48.86048958$ y $58.59711353$ .

$C + 107.45760312 = 180$

Paso 10.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Resta $107.45760312$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 107.45760312$

Paso 10.2.2

Resta $107.45760312$ de $180$ .

$C = 72.54239687$

Paso 11

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 48.86048958$

$B = 58.59711353$

$C = 72.54239687$

$a = 15$

$b = 17$

$c = 19$