Precálculo Ejemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 15 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 65 ° \\ C = & 45 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Paso 1

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $b$ .

$\frac{\sin (65 °)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{15}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Paso 3.1

Factoriza cada término.

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Paso 3.1.1

Evalúa $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sin (45 °)}{15}$

Paso 3.1.2

El valor exacto de $\sin (45 °)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{15}$

Paso 3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{15}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 15}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$b, 30$

Paso 3.2.2

Como $b, 30$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 30$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $b^{1}$ .

Paso 3.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.5

Los factores primos para $30$ son $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 3.2.5.1

$30$ tiene factores de $2$ y $15$ .

$2 \cdot 15$

Paso 3.2.5.2

$15$ tiene factores de $3$ y $5$ .

$2 \cdot 3 \cdot 5$

Paso 3.2.6

Multiplica $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 \cdot 5$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$30$

Paso 3.2.7

El factor para $b^{1}$ es $b$ en sí mismo.

$b^{1} = b$

$b$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.2.8

El MCM de $b^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$b$

Paso 3.2.9

El MCM para $b, 30$ es la parte numérica $30$ multiplicada por la parte variable.

$30 b$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ por $30 b$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ por $30 b$ .

$\frac{0.90630778}{b} (30 b) = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$30 \frac{0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $30 \frac{0.90630778}{b}$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Combina $30$ y $\frac{0.90630778}{b}$ .

$\frac{30 \cdot 0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $30$ por $0.90630778$ .

$\frac{27.18923361}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común de $b$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{27.18923361}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Paso 3.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$27.18923361 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $30$ de $30 b$ .

$27.18923361 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 (b))$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$27.18923361 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Paso 3.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$27.18923361 = \sqrt{2} b$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{2} b = 27.18923361$ .

$\sqrt{2} b = 27.18923361$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $\sqrt{2} b = 27.18923361$ por $\sqrt{2}$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $\sqrt{2} b = 27.18923361$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Multiplica $\frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{27.18923361}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.2.3.2.1

Multiplica $\frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.4.2.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.2.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.4.2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.2.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.2.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.4.2.3.3

Multiplica $27.18923361$ por $\sqrt{2}$ .

$b = \frac{38.45138292}{2}$

Paso 3.4.2.3.4

Divide $38.45138292$ por $2$ .

$b = 19.22569146$

Paso 4

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 45 ° + 65 ° = 180$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 5.1

Suma $45 °$ y $65 °$ .

$A + 110 = 180$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $110$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 110$

Paso 5.2.2

Resta $110$ de $180$ .

$A = 70$

Paso 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (70)}{a} = \frac{\sin (65 °)}{19.22569146}$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 8.1

Factoriza cada término.

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Paso 8.1.1

Evalúa $\sin (70)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (65 °)}{19.22569146}$

Paso 8.1.2

Evalúa $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{0.90630778}{19.22569146}$

Paso 8.1.3

Divide $0.90630778$ por $19.22569146$ .

$\frac{0.93969262}{a} = 0.04714045$

Paso 8.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 8.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a, 1$

Paso 8.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$a$

Paso 8.3

Multiplica cada término en $\frac{0.93969262}{a} = 0.04714045$ por $a$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.93969262}{a} = 0.04714045$ por $a$ .

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.04714045 a$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.04714045 a$

Paso 8.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.93969262 = 0.04714045 a$

Paso 8.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 8.4.1

Reescribe la ecuación como $0.04714045 a = 0.93969262$ .

$0.04714045 a = 0.93969262$

Paso 8.4.2

Divide cada término en $0.04714045 a = 0.93969262$ por $0.04714045$ y simplifica.

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Paso 8.4.2.1

Divide cada término en $0.04714045 a = 0.93969262$ por $0.04714045$ .

$\frac{0.04714045 a}{0.04714045} = \frac{0.93969262}{0.04714045}$

Paso 8.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.04714045$ .

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Paso 8.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.04714045 a}{0.04714045} = \frac{0.93969262}{0.04714045}$

Paso 8.4.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.93969262}{0.04714045}$

Paso 8.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.3.1

Divide $0.93969262$ por $0.04714045$ .

$a = 19.93389073$

Paso 9

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 70$

$B = 65 °$

$C = 45 °$

$a = 19.93389073$

$b = 19.22569146$

$c = 15$