Precálculo Ejemplos

$\frac{5 x^{2} + x + 2}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{5 x^{2} + x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(5 x^{2} + x + 2) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x^{2} + x + 2) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(5 x^{2} + x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x^{2} + x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.6.2

Divide $5 x^{2} + x + 2$ por $1$ .

$5 x^{2} + x + 2 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$5 x^{2} + x + 2 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$5 x^{2} + x + 2 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + x + 2 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $A$ .

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Paso 1.7.6

Mueve $2$ a la izquierda de $B$ .

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Paso 1.8

Mueve $- 2 A$ .

$5 x^{2} + x + 2 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$2 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$2 = - 2 A + 2 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$2 = - 2 A + 2 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$2 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 A + 2 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = - 2 A + 2 B$ por $1 - B$ .

$2 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 2 (1 - B) + 2 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $2 B$ y $2 B$ .

$2 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $2 = - 2 + 4 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 2 + 4 B = 2$ .

$- 2 + 4 B = 2$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$4 B = 2 + 2$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$4 B = 4$

$A = 1 - B$

$4 B = 4$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $4 B = 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $4 B = 4$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 B}{4} = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $4$ por $4$ .

$B = 1$

$A = 1 - B$

$B = 1$

$A = 1 - B$

$B = 1$

$A = 1 - B$

$B = 1$

$A = 1 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $1$ .

$A = 1 - (1)$

$B = 1$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $1 - (1)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A = 1 - 1$

$B = 1$

Paso 3.4.2.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$A = 0$

$B = 1$

$A = 0$

$B = 1$

$A = 0$

$B = 1$

$A = 0$

$B = 1$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 0, B = 1$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{0}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}$