Precálculo Ejemplos

$\frac{x}{(x^{2} + 9) (x + 1)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x^{2} + 9) (x + 1)$ .

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 9$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 9$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.1.2

Divide $(A x + B) (x + 1)$ por $1$ .

$x = (A x + B) (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.2

Expande $(A x + B) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x (x + 1) + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.3.1.1

Mueve $x$ .

$x = A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x = A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.3.2

Multiplica $A$ por $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.3.3

Multiplica $B$ por $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(C) (x^{2} + 9)$ por $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + (C) (x^{2} + 9)$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + C \cdot 9$

Paso 1.6.6

Mueve $9$ a la izquierda de $C$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

Paso 1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.1

Reordena $B$ y $x$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

Paso 1.7.2

Mueve $B$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + C x^{2} + B + 9 C$

Paso 1.7.3

Mueve $B x$ .

$x = A x^{2} + A x + C x^{2} + B x + B + 9 C$

Paso 1.7.4

Mueve $A x$ .

$x = A x^{2} + C x^{2} + A x + B x + B + 9 C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B + 9 C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + C$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Paso 3.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- C$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A + B$ por $- C$ .

$1 = (- C) + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $1 = - C + B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- C + B = 1$ .

$- C + B = 1$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Paso 3.3.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1 + C$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = B + 9 C$ por $1 + C$ .

$0 = (1 + C) + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Suma $C$ y $9 C$ .

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Paso 3.5

Resuelve $C$ en $0 = 1 + 10 C$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $1 + 10 C = 0$ .

$1 + 10 C = 0$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$10 C = - 1$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $10 C = - 1$ por $10$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $10 C = - 1$ por $10$ .

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- \frac{1}{10}$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = 1 + C$ por $- \frac{1}{10}$ .

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Paso 3.6.2

Simplifica $B = 1 - \frac{1}{10}$ .

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Paso 3.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Paso 3.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.1

Simplifica $1 - \frac{1}{10}$ .

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Paso 3.6.2.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$B = \frac{10}{10} - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Paso 3.6.2.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{10 - 1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Paso 3.6.2.2.1.3

Resta $1$ de $10$ .

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $A = - C$ por $- \frac{1}{10}$ .

$A = - (- \frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Paso 3.6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.1

Multiplica $- (- \frac{1}{10})$ .

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Paso 3.6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Paso 3.6.4.1.2

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $1$ .

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{9}{10}, C = - \frac{1}{10}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{1}{10 x} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$

Paso 5

Combina $\frac{1}{10}$ y $x$ .

$\frac{\frac{x}{10} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$