Precálculo Ejemplos

$\frac{7 x - 13}{x^{2} - 2 x - 3}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{7 x - 13}{(x - 3) (x + 1)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{(7 x - 13) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(7 x - 13) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(7 x - 13) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(7 x - 13) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.6.2

Divide $7 x - 13$ por $1$ .

$7 x - 13 = \frac{(A) (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$7 x - 13 = \frac{A (x - 3) (x + 1)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$7 x - 13 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x - 13 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$7 x - 13 = A x + A + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$7 x - 13 = A x + A + \frac{(B) (x - 3) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (x - 3)$ por $1$ .

$7 x - 13 = A x + A + (B) (x - 3)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x - 13 = A x + A + B x + B \cdot - 3$

Paso 1.7.6

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B$ .

$7 x - 13 = A x + A + B x - 3 B$

Paso 1.8

Mueve $A$ .

$7 x - 13 = A x + B x + A - 3 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$7 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 13 = A - 3 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$7 = A + B$

$- 13 = A - 3 B$

$7 = A + B$

$- 13 = A - 3 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $7 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 7$ .

$A + B = 7$

$- 13 = A - 3 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 7 - B$

$- 13 = A - 3 B$

$A = 7 - B$

$- 13 = A - 3 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $7 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 13 = A - 3 B$ por $7 - B$ .

$- 13 = (7 - B) - 3 B$

$A = 7 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Resta $3 B$ de $- B$ .

$- 13 = 7 - 4 B$

$A = 7 - B$

$- 13 = 7 - 4 B$

$A = 7 - B$

$- 13 = 7 - 4 B$

$A = 7 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $- 13 = 7 - 4 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $7 - 4 B = - 13$ .

$7 - 4 B = - 13$

$A = 7 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 B = - 13 - 7$

$A = 7 - B$

Paso 3.3.2.2

Resta $7$ de $- 13$ .

$- 4 B = - 20$

$A = 7 - B$

$- 4 B = - 20$

$A = 7 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 4 B = - 20$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 4 B = - 20$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

$A = 7 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

$A = 7 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 20}{- 4}$

$A = 7 - B$

$B = \frac{- 20}{- 4}$

$A = 7 - B$

$B = \frac{- 20}{- 4}$

$A = 7 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $- 20$ por $- 4$ .

$B = 5$

$A = 7 - B$

$B = 5$

$A = 7 - B$

$B = 5$

$A = 7 - B$

$B = 5$

$A = 7 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $5$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 7 - B$ por $5$ .

$A = 7 - (5)$

$B = 5$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $7 - (5)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$A = 7 - 5$

$B = 5$

Paso 3.4.2.1.2

Resta $5$ de $7$ .

$A = 2$

$B = 5$

$A = 2$

$B = 5$

$A = 2$

$B = 5$

$A = 2$

$B = 5$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 2, B = 5$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{2}{x - 3} + \frac{5}{x + 1}$