Precálculo Ejemplos

$\frac{11 x^{2} + 12 x}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $11 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $11 x^{2}$ .

$\frac{x (11 x) + 12 x}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $12 x$ .

$\frac{x (11 x) + x \cdot 12}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x (11 x) + x \cdot 12$ .

$\frac{x (11 x + 12)}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 10}$

Paso 1.3

$\frac{A x + B}{x^{2} + 10} + \frac{C x + D}{x^{2} + 11}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)$ .

$\frac{x (11 x + 12) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.5

Simplifica los términos.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 10$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (11 x + 12) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{(x^{2} + 10) (x^{2} + 11)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.5.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (11 x + 12) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $x^{2} + 11$ .

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (11 x + 12) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.5.2.2

Divide $x (11 x + 12)$ por $1$ .

$x (11 x + 12) = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (11 x) + x \cdot 12 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.5.4

Reordena.

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Paso 1.5.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$11 x \cdot x + x \cdot 12 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.5.4.2

Mueve $12$ a la izquierda de $x$ .

$11 x \cdot x + 12 \cdot x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1

Mueve $x$ .

$11 (x \cdot x) + 12 \cdot x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$11 x^{2} + 12 \cdot x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

$11 x^{2} + 12 x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 10$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$11 x^{2} + 12 x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 10} + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A x + B) (x^{2} + 11)$ por $1$ .

$11 x^{2} + 12 x = (A x + B) (x^{2} + 11) + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.2

Expande $(A x + B) (x^{2} + 11)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$11 x^{2} + 12 x = A x (x^{2} + 11) + B (x^{2} + 11) + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$11 x^{2} + 12 x = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 11 + B (x^{2} + 11) + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$11 x^{2} + 12 x = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$11 x^{2} + 12 x = A (x^{2} x) + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.7.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$11 x^{2} + 12 x = A (x^{2} x) + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$11 x^{2} + 12 x = A x^{2 + 1} + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + A x \cdot 11 + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.3.2

Mueve $11$ a la izquierda de $A x$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 \cdot (A x) + B x^{2} + B \cdot 11 + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.3.3

Mueve $11$ a la izquierda de $B$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 11$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 10) (x^{2} + 11)}{x^{2} + 11}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(C x + D) (x^{2} + 10)$ por $1$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + (C x + D) (x^{2} + 10)$

Paso 1.7.5

Expande $(C x + D) (x^{2} + 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x (x^{2} + 10) + D (x^{2} + 10)$

Paso 1.7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 10 + D (x^{2} + 10)$

Paso 1.7.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

Paso 1.7.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.6.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C (x^{2} x) + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

Paso 1.7.6.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.7.6.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C (x^{2} x) + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

Paso 1.7.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

Paso 1.7.6.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + C x \cdot 10 + D x^{2} + D \cdot 10$

Paso 1.7.6.2

Mueve $10$ a la izquierda de $C x$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + 10 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 10$

Paso 1.7.6.3

Mueve $10$ a la izquierda de $D$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 A x + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + 10 C x + D x^{2} + 10 D$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Mueve $A$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 x A + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + 10 C x + D x^{2} + 10 D$

Paso 1.8.2

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 x A + B x^{2} + 11 B + C x^{3} + 10 C x + D x^{2} + 10 D$

Paso 1.8.3

Mueve $11 B$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 x A + B x^{2} + C x^{3} + 10 C x + D x^{2} + 11 B + 10 D$

Paso 1.8.4

Mueve $10 C x$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + 11 x A + B x^{2} + C x^{3} + D x^{2} + 10 C x + 11 B + 10 D$

Paso 1.8.5

Mueve $11 x A$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} + D x^{2} + 11 x A + 10 C x + 11 B + 10 D$

Paso 1.8.6

Mueve $B x^{2}$ .

$11 x^{2} + 12 x = A x^{3} + C x^{3} + B x^{2} + D x^{2} + 11 x A + 10 C x + 11 B + 10 D$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$11 = B + D$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$12 = 11 A + 10 C$

Paso 2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + C$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

$0 = A + C$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + C$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - C$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

$A = - C$

$11 = B + D$

$12 = 11 A + 10 C$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- C$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $12 = 11 A + 10 C$ por $- C$ .

$12 = 11 (- C) + 10 C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $11 (- C) + 10 C$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$12 = - 11 C + 10 C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $- 11 C$ y $10 C$ .

$12 = - C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$12 = - C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$12 = - C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$12 = - C$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.3

Resuelve $C$ en $12 = - C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- C = 12$ .

$- C = 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- C = 12$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- C = 12$ por $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{12}{- 1}$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{C}{1} = \frac{12}{- 1}$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{12}{- 1}$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$C = \frac{12}{- 1}$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $12$ por $- 1$ .

$C = - 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$C = - 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$C = - 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$C = - 12$

$A = - C$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 12$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $A = - C$ por $- 12$ .

$A = - (- 12)$

$C = - 12$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$A = 12$

$C = - 12$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$A = 12$

$C = - 12$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

$A = 12$

$C = - 12$

$11 = B + D$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.5

Resuelve $B$ en $11 = B + D$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $B + D = 11$ .

$B + D = 11$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.5.2

Resta $D$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 11 B + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 11 B + 10 D$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $B$ por $11 - D$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = 11 B + 10 D$ por $11 - D$ .

$0 = 11 (11 - D) + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $11 (11 - D) + 10 D$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = 11 \cdot 11 + 11 (- D) + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.6.2.1.1.2

Multiplica $11$ por $11$ .

$0 = 121 + 11 (- D) + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.6.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$0 = 121 - 11 D + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 121 - 11 D + 10 D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.6.2.1.2

Suma $- 11 D$ y $10 D$ .

$0 = 121 - D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 121 - D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 121 - D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$0 = 121 - D$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.7

Resuelve $D$ en $0 = 121 - D$ .

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $121 - D = 0$ .

$121 - D = 0$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.7.2

Resta $121$ de ambos lados de la ecuación.

$- D = - 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.7.3

Divide cada término en $- D = - 121$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.7.3.1

Divide cada término en $- D = - 121$ por $- 1$ .

$\frac{- D}{- 1} = \frac{- 121}{- 1}$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{D}{1} = \frac{- 121}{- 1}$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.7.3.2.2

Divide $D$ por $1$ .

$D = \frac{- 121}{- 1}$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$D = \frac{- 121}{- 1}$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.7.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.3.3.1

Divide $- 121$ por $- 1$ .

$D = 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$D = 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$D = 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

$D = 121$

$B = 11 - D$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.8

Reemplaza todos los casos de $D$ por $121$ en cada ecuación.

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Paso 3.8.1

Reemplaza todos los casos de $D$ en $B = 11 - D$ por $121$ .

$B = 11 - (121)$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.2.1

Simplifica $11 - (121)$ .

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Paso 3.8.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $121$ .

$B = 11 - 121$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.8.2.1.2

Resta $121$ de $11$ .

$B = - 110$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

$B = - 110$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

$B = - 110$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

$B = - 110$

$D = 121$

$A = 12$

$C = - 12$

Paso 3.9

Enumera todas las soluciones.

$B = - 110, D = 121, A = 12, C = - 12$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A x + B}{x^{2} + 10} + \frac{C x + D}{x^{2} + 11}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$\frac{12 x - 110}{x^{2} + 10} + \frac{- 12 x + 121}{x^{2} + 11}$