Precálculo Ejemplos

$\frac{10 x + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza $10$ de $10 x + 20$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$\frac{10 (x) + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $10$ de $20$ .

$\frac{10 x + 10 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $10$ de $10 x + 10 \cdot 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{10 (x + 2)}{(x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{10 (x + 2)}{x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2)}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 1.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2^{2})}$

Paso 1.1.5

Factoriza.

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Paso 1.1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) ((x + 2) (x - 2))}$

Paso 1.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.1.6

Combina exponentes.

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Paso 1.1.6.1

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2) (x + 2)}$

Paso 1.1.6.2

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x + 2)}$

Paso 1.1.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2)}$

Paso 1.1.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 1.1.7

Reduce la expresión $\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 1.1.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 1.5.2

Divide $10$ por $1$ .

$10 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$10 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 1.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$10 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y $x - 2$ .

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Paso 1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Paso 1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Paso 1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$10 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Paso 1.6.2.2.4

Divide $B (x - 2)$ por $1$ .

$10 = A + B (x - 2)$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 = A + B x + B \cdot - 2$

Paso 1.6.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$10 = A + B x - 2 B$

Paso 1.7

Reordena $A$ y $B x$ .

$10 = B x + A - 2 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$10 = A - 2 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $B = 0$ .

$B = 0$

$10 = A - 2 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $10 = A - 2 B$ por $0$ .

$10 = A - 2 \cdot 0$

$B = 0$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $A - 2 \cdot 0$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$10 = A + 0$

$B = 0$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $A$ y $0$ .

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

Paso 3.3

Reescribe la ecuación como $A = 10$ .

$A = 10$

$B = 0$

Paso 3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 10 B = 0$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 10, B = 0$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{0}{x - 2}$