Precálculo Ejemplos

$\frac{- 1}{x^{2} (x^{2} + 4)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$

Paso 1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x^{2} (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(- 1) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} (x^{2} + 4)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} (x^{2} + 4)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 1) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.4.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$- 1 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.1.2

Divide $A (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$- 1 = A (x^{2} + 4) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.3

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $x$ de $B (x^{2} (x^{2} + 4))$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.4.2.3

Cancela el factor común.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.4.2.4

Reescribe la expresión.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{B (x (x^{2} + 4))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.4.2.5

Divide $B (x (x^{2} + 4))$ por $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x (x^{2} + 4)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.6.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.5.6.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{3} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.7

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{3} + 4 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + B (4 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.10

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 1.5.10.1

Cancela el factor común.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 1.5.10.2

Divide $(C x + D) (x^{2})$ por $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + (C x + D) (x^{2})$

Paso 1.5.11

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Paso 1.5.12

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.12.1

Mueve $x^{2}$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Paso 1.5.12.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.5.12.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Paso 1.5.12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Paso 1.5.12.3

Suma $2$ y $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x^{3} + D x^{2}$

Paso 1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.6.1

Mueve $B$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 x B + C x^{3} + D x^{2}$

Paso 1.6.2

Mueve $4 A$ .

$- 1 = A x^{2} + B x^{3} + 4 x B + C x^{3} + D x^{2} + 4 A$

Paso 1.6.3

Mueve $4 x B$ .

$- 1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 4 x B + 4 A$

Paso 1.6.4

Mueve $A x^{2}$ .

$- 1 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 4 x B + 4 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{3}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + D$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 4 B$

Paso 2.4

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = 4 A$

Paso 2.5

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = 4 B$

$- 1 = 4 A$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = 4 B$

$- 1 = 4 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $B$ en $0 = 4 B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $4 B = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $4 B = 0$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = B + C$ por $0$ .

$0 = (0) + C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Suma $0$ y $C$ .

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Paso 3.2.3

Reescribe la ecuación como $4 A = - 1$ .

$4 A = - 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $4 A = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $4 A = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Paso 3.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- \frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = A + D$

Paso 3.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + D$ por $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Paso 3.4

Resuelve $D$ en $0 = - \frac{1}{4} + D$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{4} + D = 0$ .

$- \frac{1}{4} + D = 0$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Paso 3.4.2

Suma $\frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$D = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$D = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Paso 3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$D = \frac{1}{4} C = 0 A = - \frac{1}{4} B = 0$

Paso 3.6

Enumera todas las soluciones.

$D = \frac{1}{4}, C = 0, A = - \frac{1}{4}, B = 0$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x + \frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 + \frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$

Paso 5.2

Suma $0$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$