Precálculo Ejemplos

$\frac{27 - 4 x}{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza la fracción.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 9 x}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x$ de $9 x$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9}$

Paso 1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 9)}$

Paso 1.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 3^{2})}$

Paso 1.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 1.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Paso 1.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{27 - 4 x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(27 - 4 x) ({(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(27 - 4 x) {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.6.2

Divide $27 - 4 x$ por $1$ .

$27 - 4 x = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.7

Reordena $27$ y $- 4 x$ .

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.1

Cancela el factor común.

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.1.2

Divide $A ({(x - 3)}^{2})$ por $1$ .

$- 4 x + 27 = A ({(x - 3)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.2

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$- 4 x + 27 = A ((x - 3) (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.3

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.4.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.4.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.4.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 6 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} + A (- 6 x) + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.6.2

Mueve $9$ a la izquierda de $A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.7

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.7.1

Cancela el factor común.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{B (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.7.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Paso 1.8.8

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ y $x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.8.1

Factoriza $x - 3$ de $(C) (x {(x - 3)}^{2})$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{x - 3}$

Paso 1.8.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

Paso 1.8.8.2.2

Cancela el factor común.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

Paso 1.8.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{C (x (x - 3))}{1}$

Paso 1.8.8.2.4

Divide $C (x (x - 3))$ por $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x (x - 3))$

Paso 1.8.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Paso 1.8.10

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Paso 1.8.11

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Paso 1.8.12

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Paso 1.8.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Paso 1.9

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.9.1

Mueve $A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Paso 1.9.2

Reordena $B$ y $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Paso 1.9.3

Mueve $9 A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + B x + C x^{2} - 3 C x + 9 A$

Paso 1.9.4

Mueve $B x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + C x^{2} + B x - 3 C x + 9 A$

Paso 1.9.5

Mueve $- 6 x A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} + C x^{2} - 6 x A + B x - 3 C x + 9 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$27 = 9 A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resuelve $A$ en $27 = 9 A$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $9 A = 27$ .

$9 A = 27$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $9 A = 27$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $9 A = 27$ por $9$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.3.1

Divide $27$ por $9$ .

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $3$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + C$ por $3$ .

$0 = (3) + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 4 = - 6 A + B - 3 C$ por $3$ .

$- 4 = - 6 \cdot 3 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Paso 3.3

Resuelve $C$ en $0 = 3 + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 + C = 0$ .

$3 + C = 0$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

Paso 3.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 3$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 4 = - 18 + B - 3 C$ por $- 3$ .

$- 4 = - 18 + B - 3 \cdot - 3$

$C = - 3$

$A = 3$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 18 + B - 3 \cdot - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$- 4 = - 18 + B + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $- 18$ y $9$ .

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Paso 3.5

Resuelve $B$ en $- 4 = B - 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $B - 9 = - 4$ .

$B - 9 = - 4$

$C = - 3$

$A = 3$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$B = - 4 + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Paso 3.5.2.2

Suma $- 4$ y $9$ .

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

Paso 3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 5 C = - 3 A = 3$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = 5, C = - 3, A = 3$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 3}{x - 3}$