Precálculo Ejemplos

$\frac{10 x^{2} + 10 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 3 x + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.5.2

Divide $10 x^{2} + 10 x + 3$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.6.1.2

Divide $(A) (x^{2} + 3 x + 3)$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = (A) (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.6.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.6.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.6.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 3 x + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.4.1

Cancela el factor común.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 1.6.4.2

Divide $(B x + C) (x + 1)$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x + 1)$

Paso 1.6.5

Expande $(B x + C) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Paso 1.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Paso 1.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Paso 1.6.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.6.1.1

Mueve $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Paso 1.6.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Paso 1.6.6.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Paso 1.6.6.3

Multiplica $C$ por $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Paso 1.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Mueve $A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Paso 1.7.2

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Paso 1.7.3

Reordena $B$ y $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Paso 1.7.4

Mueve $3 A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + B x + C x + 3 A + C$

Paso 1.7.5

Mueve $3 x A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + B x + C x + 3 A + C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$10 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$10 = 3 A + B + C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = 3 A + C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resuelve $A$ en $10 = A + B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 10$ .

$A + B = 10$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $10 - B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $10 = 3 A + B + C$ por $10 - B$ .

$10 = 3 (10 - B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (10 - B) + B + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$10 = 30 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $- 3 B$ y $B$ .

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $3 = 3 A + C$ por $10 - B$ .

$3 = 3 (10 - B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Paso 3.2.4.1.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$3 = 30 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Paso 3.2.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Paso 3.3

Reordena $10$ y $- B$ .

$A = - B + 10$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

Paso 3.4

Resuelve $C$ en $3 = 30 - 3 B + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $30 - 3 B + C = 3$ .

$30 - 3 B + C = 3$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Paso 3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Resta $30$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 B + C = 3 - 30$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Paso 3.4.2.2

Suma $3 B$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 3 - 30 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Paso 3.4.2.3

Resta $30$ de $3$ .

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Paso 3.5

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 27 + 3 B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $10 = 30 - 2 B + C$ por $- 27 + 3 B$ .

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Paso 3.5.2

Simplifica $10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1

Simplifica $30 - 2 B - 27 + 3 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1.1

Resta $27$ de $30$ .

$10 = - 2 B + 3 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Paso 3.5.2.2.1.2

Suma $- 2 B$ y $3 B$ .

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Paso 3.6

Resuelve $B$ en $10 = B + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $B + 3 = 10$ .

$B + 3 = 10$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Paso 3.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 10 - 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Paso 3.6.2.2

Resta $3$ de $10$ .

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Paso 3.7

Reemplaza todos los casos de $B$ por $7$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = - 27 + 3 B$ por $7$ .

$C = - 27 + 3 (7)$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1

Simplifica $- 27 + 3 (7)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$C = - 27 + 21$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Paso 3.7.2.1.2

Suma $- 27$ y $21$ .

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B + 10$ por $7$ .

$A = - (7) + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

Paso 3.7.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.4.1

Simplifica $- (7) + 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$A = - 7 + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

Paso 3.7.4.1.2

Suma $- 7$ y $10$ .

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

Paso 3.8

Enumera todas las soluciones.

$A = 3, C = - 6, B = 7$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$

Paso 5

Multiplica $7$ por $x$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$