Precálculo Ejemplos

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 x + 7}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 6 \cdot 7 = - 42$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 (x) + 7}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $- 11$ como $3$ más $- 14$

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + (3 - 14) x + 7}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + 3 x - 14 x + 7}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{41 x - 37}{(- 6 x^{2} + 3 x) - 14 x + 7}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{41 x - 37}{3 x (- 2 x + 1) + 7 (- 2 x + 1)}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 x + 1$ .

$\frac{41 x - 37}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{- 2 x + 1}$

Paso 1.3

$\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(- 2 x + 1) (3 x + 7)$ .

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $- 2 x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $3 x + 7$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.6.2

Divide $41 x - 37$ por $1$ .

$41 x - 37 = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $- 2 x + 1$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$41 x - 37 = \frac{A (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (3 x + 7)$ por $1$ .

$41 x - 37 = (A) (3 x + 7) + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$41 x - 37 = A (3 x) + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$41 x - 37 = 3 A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.7.4

Mueve $7$ a la izquierda de $A$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.7.5

Cancela el factor común de $3 x + 7$ .

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Paso 1.7.5.1

Cancela el factor común.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Paso 1.7.5.2

Divide $(B) (- 2 x + 1)$ por $1$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + (B) (- 2 x + 1)$

Paso 1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + B (- 2 x) + B \cdot 1$

Paso 1.7.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B \cdot 1$

Paso 1.7.8

Multiplica $B$ por $1$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B$

Paso 1.8

Reordena.

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Paso 1.8.1

Mueve $A$ .

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 B x + B$

Paso 1.8.2

Mueve $B$ .

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 x B + B$

Paso 1.8.3

Mueve $7 A$ .

$41 x - 37 = 3 x A - 2 x B + 7 A + B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$41 = 3 A - 2 B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 37 = 7 A + B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $B$ en $- 37 = 7 A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $7 A + B = - 37$ .

$7 A + B = - 37$

$41 = 3 A - 2 B$

Paso 3.1.2

Resta $7 A$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 37 - 7 A$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $41 = 3 A - 2 B$ por $- 37 - 7 A$ .

$41 = 3 A - 2 (- 37 - 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 A - 2 (- 37 - 7 A)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$41 = 3 A - 2 \cdot - 37 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 37$ .

$41 = 3 A + 74 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 2$ .

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $3 A$ y $14 A$ .

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.3

Resuelve $A$ en $41 = 17 A + 74$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $17 A + 74 = 41$ .

$17 A + 74 = 41$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $74$ de ambos lados de la ecuación.

$17 A = 41 - 74$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.3.2.2

Resta $74$ de $41$ .

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $17 A = - 33$ por $17$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $17 A = - 33$ por $17$ .

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- \frac{33}{17}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $B = - 37 - 7 A$ por $- \frac{33}{17}$ .

$B = - 37 - 7 (- \frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 37 - 7 (- \frac{33}{17})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 7 (- \frac{33}{17})$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$B = - 37 + 7 (\frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Combina $7$ y $\frac{33}{17}$ .

$B = - 37 + \frac{7 \cdot 33}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2.1.1.3

Multiplica $7$ por $33$ .

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2.1.2

Para escribir $- 37$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{17}{17}$ .

$B = - 37 \cdot \frac{17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2.1.3

Combina $- 37$ y $\frac{17}{17}$ .

$B = \frac{- 37 \cdot 17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{- 37 \cdot 17 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.5.1

Multiplica $- 37$ por $17$ .

$B = \frac{- 629 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2.1.5.2

Suma $- 629$ y $231$ .

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.4.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{398}{17}, A = - \frac{33}{17}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{33}{17}}{- 2 x + 1} + \frac{- \frac{398}{17}}{3 x + 7}$