Precálculo Ejemplos

$\frac{3 x^{2} - 6 x - 3}{x^{3} - x}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 6 x - 3$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 6 x - 3}{x^{3} - x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 3}{x^{3} - x}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (- 1)}{x^{3} - x}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)}{x^{3} - x}$

Paso 1.1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1)}{x^{3} - x}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{3} - x$ .

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x^{2} - x}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1)}{x (x^{2} - 1)}$

Paso 1.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Paso 1.1.4

Factoriza.

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Paso 1.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Paso 1.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x - 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.7.2

Divide $3 (x^{2} - 2 x - 1)$ por $1$ .

$3 (x^{2} - 2 x - 1) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.9.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.10.1.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.1.2

Divide $A ((x + 1) (x - 1))$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.10.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.6

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.10.7.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.7.2

Divide $(B) (x (x - 1))$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.8

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.9

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.10

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.11

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.12

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.14

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.10.14.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.10.14.2

Divide $(C) (x (x + 1))$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Paso 1.10.15

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Paso 1.10.16

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Paso 1.10.17

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Paso 1.10.18

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Paso 1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.11.1

Mueve $B$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Paso 1.11.2

Mueve $- A$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Paso 1.11.3

Mueve $- x B$ .

$3 x^{2} - 6 x - 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = A + B + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 3 = - 1 A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

$- 3 = - 1 A$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

$- 3 = - 1 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $- 3 = - 1 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = - 3$ .

$- 1 A = - 3$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- 1 A = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 3}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 3}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$A = 3$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

$A = 3$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

$A = 3$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

$A = 3$

$3 = A + B + C$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $3 = A + B + C$ por $3$ .

$3 = (3) + B + C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$3 = 3 + B + C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

$3 = 3 + B + C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

$3 = 3 + B + C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $3 = 3 + B + C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 + B + C = 3$ .

$3 + B + C = 3$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$B + C = 3 - 3$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.3.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 3 - 3 - C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.3.2.3

Resta $3$ de $3$ .

$B = 0 - C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.3.2.4

Resta $C$ de $0$ .

$B = - C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

$B = - C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

$B = - C$

$A = 3$

$- 6 = - 1 B + C$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- C$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 6 = - 1 B + C$ por $- C$ .

$- 6 = - 1 (- C) + C$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 1 (- C) + C$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1 (- C)$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 6 = 1 C + C$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$- 6 = C + C$

$B = - C$

$A = 3$

$- 6 = C + C$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $C$ y $C$ .

$- 6 = 2 C$

$B = - C$

$A = 3$

$- 6 = 2 C$

$B = - C$

$A = 3$

$- 6 = 2 C$

$B = - C$

$A = 3$

$- 6 = 2 C$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.5

Resuelve $C$ en $- 6 = 2 C$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $2 C = - 6$ .

$2 C = - 6$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $2 C = - 6$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $2 C = - 6$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 6}{2}$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 6}{2}$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = - C$

$A = 3$

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = - C$

$A = 3$

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Divide $- 6$ por $2$ .

$C = - 3$

$B = - C$

$A = 3$

$C = - 3$

$B = - C$

$A = 3$

$C = - 3$

$B = - C$

$A = 3$

$C = - 3$

$B = - C$

$A = 3$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 3$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = - C$ por $- 3$ .

$B = - (- 3)$

$C = - 3$

$A = 3$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$B = 3$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 3$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 3$

$C = - 3$

$A = 3$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = 3, C = - 3, A = 3$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{3}{x} + \frac{3}{x + 1} + \frac{- 3}{x - 1}$