Precálculo Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & - 1 & - 1 \\ - 5 & - 1 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (- 1 \cdot 2 - - - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (- 2 - - - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- - - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 (- 2 - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 (- 2 - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (4 \cdot 2 - (- 5 \cdot - 1)) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - (- 5 \cdot - 1)) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot - 1)$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - 1 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta $5$ de $8$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (4 \cdot - 1 - (- 5 \cdot - 1))$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - (- 5 \cdot - 1))$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot - 1)$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - 1 \cdot 5)$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - 5)$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de $- 4$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot - 9$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 9 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot - 9$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 9 - 6 + 1 \cdot - 9$

Paso 5.1.3

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 9 - 6 - 9$

Paso 5.2

Resta $6$ de $- 9$ .

$- 15 - 9$

Paso 5.3

Resta $9$ de $- 15$ .

$- 24$