Precálculo Ejemplos

$(3 \sqrt{3}, 9)$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$r = \sqrt{27 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{27 + 81}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.3

Suma $27$ y $81$ .

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$r = \sqrt{36 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{9}{3 \sqrt{3}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $\sqrt{3}$ es $θ = 60 °$ .

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = 60 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(6 \sqrt{3}, 60 °)$