Precálculo Ejemplos

$(- \frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(- \frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.2

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.2

Multiplica $25$ por $3$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.4

Suma $25$ y $75$ .

$r = \sqrt{\frac{100}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.5

Divide $100$ por $4$ .

$r = \sqrt{25}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.6

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$r = \sqrt{5^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{5^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{5}{2}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $- \sqrt{3}$ es $θ = 120 °$ .

$r = 5$

$θ = 120 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(5, 120 °)$