Precálculo Ejemplos

$y = {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} + 3$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

Paso 4.2

Suma $10 x$ y $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $10$ por $4$ .

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

Paso 5.2

Reordena los factores de $40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ .

$40 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$