Precálculo Ejemplos

$x^{3} + x^{2} - 7 x - 15$

Paso 1

Establece $x^{3} + x^{2} - 7 x - 15$ igual a $0$ .

$x^{3} + x^{2} - 7 x - 15 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3} + x^{2} - 7 x - 15$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Paso 2.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} + 3^{2} - 7 \cdot 3 - 15$

Paso 2.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 + 3^{2} - 7 \cdot 3 - 15$

Paso 2.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 + 9 - 7 \cdot 3 - 15$

Paso 2.1.3.4

Suma $27$ y $9$ .

$36 - 7 \cdot 3 - 15$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$36 - 21 - 15$

Paso 2.1.3.6

Resta $21$ de $36$ .

$15 - 15$

Paso 2.1.3.7

Resta $15$ de $15$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 7 x - 15}{x - 3}$

Paso 2.1.5

Divide $x^{3} + x^{2} - 7 x - 15$ por $x - 3$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$15$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$5 x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x - 15$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 4 x + 5$

Paso 2.1.6

Escribe $x^{3} + x^{2} - 7 x - 15$ como un conjunto de factores.

$(x - 3) (x^{2} + 4 x + 5) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 4 x + 5 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.4

Establece $x^{2} + 4 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2} + 4 x + 5$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 5 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $20$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i}{2}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 2 \pm i$

Paso 2.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + i, - 2 - i$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x^{2} + 4 x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 2 + i, - 2 - i$

Paso 3