Precálculo Ejemplos

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$

Paso 1

Establece $4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$ igual a $0$ .

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 28 x^{3} + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 7 x$ de $- 28 x^{3} + 7 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 7 x$ de $- 28 x^{3}$ .

$- 7 x (4 x^{2}) + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 7 x$ de $7 x$ .

$- 7 x (4 x^{2}) - 7 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x (4 x^{2}) - 7 x (- 1)$ .

$- 7 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$- 7 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.1.7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 u - 12 = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 12 = - 48$ y cuya suma es $b = 47$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.8.1.1

Factoriza $47$ de $47 u$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 (u) - 12 = 0$

Paso 2.1.8.1.2

Reescribe $47$ como $- 1$ más $48$

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 48) u - 12 = 0$

Paso 2.1.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Paso 2.1.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Paso 2.1.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 12 (4 u - 1) = 0$

Paso 2.1.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 12) = 0$

Paso 2.1.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.10

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.11

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.12

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.13.1

Factoriza $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.13.2

Factoriza $(2 x + 1) (2 x - 1)$ de $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.14

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Paso 2.1.15

Factoriza $- 7 u + u^{2} + 12$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.15.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 2.1.15.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Paso 2.1.16

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.16.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Paso 2.1.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 4, 3$

Paso 3