Precálculo Ejemplos

$49 x^{2} - 25 y^{2} + 294 x + 200 y = 1184$

Paso 1

Completa el cuadrado de $49 x^{2} + 294 x$ .

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 49$

$b = 294$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{294}{2 \cdot 49}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $294$ y $2$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $294$ .

$d = \frac{2 \cdot 147}{2 \cdot 49}$

Paso 1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 49$ .

$d = \frac{2 \cdot 147}{2 (49)}$

Paso 1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 147}{2 \cdot 49}$

Paso 1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{147}{49}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común de $147$ y $49$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$d = \frac{49 \cdot 3}{49}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.2.1

Factoriza $49$ de $49$ .

$d = \frac{49 \cdot 3}{49 (1)}$

Paso 1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{49 \cdot 3}{49 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 1.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{294^{2}}{4 \cdot 49}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $294$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{86436}{4 \cdot 49}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $49$ .

$e = 0 - \frac{86436}{196}$

Paso 1.4.2.1.3

Divide $86436$ por $196$ .

$e = 0 - 1 \cdot 441$

Paso 1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $441$ .

$e = 0 - 441$

Paso 1.4.2.2

Resta $441$ de $0$ .

$e = - 441$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $49 {(x + 3)}^{2} - 441$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 441$

Paso 2

Sustituye $49 {(x + 3)}^{2} - 441$ por $49 x^{2} + 294 x$ en la ecuación $49 x^{2} - 25 y^{2} + 294 x + 200 y = 1184$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 441 - 25 y^{2} + 200 y = 1184$

Paso 3

Mueve $- 441$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $441$ a ambos lados.

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 y^{2} + 200 y = 1184 + 441$

Paso 4

Completa el cuadrado de $- 25 y^{2} + 200 y$ .

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $200$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{100}{- 25}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $100$ y $- 25$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Paso 4.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $200$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Paso 4.4.2.1.3

Divide $40000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Paso 4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Paso 4.4.2.2

Suma $0$ y $400$ .

$e = 400$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(y - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(y - 4)}^{2} + 400$

Paso 5

Sustituye $- 25 {(y - 4)}^{2} + 400$ por $- 25 y^{2} + 200 y$ en la ecuación $49 x^{2} - 25 y^{2} + 294 x + 200 y = 1184$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 {(y - 4)}^{2} + 400 = 1184 + 441$

Paso 6

Mueve $400$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $400$ a ambos lados.

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 {(y - 4)}^{2} = 1184 + 441 - 400$

Paso 7

Simplifica $1184 + 441 - 400$ .

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Paso 7.1

Suma $1184$ y $441$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 {(y - 4)}^{2} = 1625 - 400$

Paso 7.2

Resta $400$ de $1625$ .

$49 {(x + 3)}^{2} - 25 {(y - 4)}^{2} = 1225$

Paso 8

Divide cada término por $1225$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{49 {(x + 3)}^{2}}{1225} - \frac{25 {(y - 4)}^{2}}{1225} = \frac{1225}{1225}$

Paso 9

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{49} = 1$