Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y + 17 = 0$

Paso 1

Resta $17$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$

Paso 2

Completa el cuadrado de $4 x^{2} - 4 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Paso 2.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Paso 3

Sustituye $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ por $4 x^{2} - 4 x$ en la ecuación $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 6 y = - 17$

Paso 4

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 6 y = - 17 + 1$

Paso 5

Completa el cuadrado de $- 4 y^{2} + 6 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = 6$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 4)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{- 4}$

Paso 5.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{4}$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 16}$

Paso 5.4.2.1.3

Cancela el factor común de $36$ y $- 16$ .

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Paso 5.4.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$e = 0 - \frac{4 (9)}{- 16}$

Paso 5.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{9}{- 4}$

Paso 5.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{9}{4}$

Paso 5.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{9}{4}$ .

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Paso 5.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{9}{4})$

Paso 5.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{9}{4}$

Paso 5.4.2.2

Suma $0$ y $\frac{9}{4}$ .

$e = \frac{9}{4}$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ .

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$

Paso 6

Sustituye $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ por $- 4 y^{2} + 6 y$ en la ecuación $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4} = - 17 + 1$

Paso 7

Mueve $\frac{9}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{9}{4}$ a ambos lados.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - 17 + 1 - \frac{9}{4}$

Paso 8

Simplifica $- 17 + 1 - \frac{9}{4}$ .

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Paso 8.1

Obtén el denominador común

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Paso 8.1.1

Escribe $- 17$ como una fracción con el denominador $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} + 1 - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.2

Multiplica $\frac{- 17}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.3

Multiplica $\frac{- 17}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4 + 4 - 9}{4}$

Paso 8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.1

Multiplica $- 17$ por $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 68 + 4 - 9}{4}$

Paso 8.3.2

Suma $- 68$ y $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 64 - 9}{4}$

Paso 8.3.3

Resta $9$ de $- 64$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 73}{4}$

Paso 8.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{73}{4}$

Paso 9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{73}{4}$

Paso 10

Divide cada término por $\frac{73}{4}$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{4}} + \frac{4 {(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{4}} = \frac{\frac{73}{4}}{\frac{73}{4}}$

Paso 11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{16}} - \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{16}} = 1$