Precálculo Ejemplos

4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y + 17 = 0

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y + 17 = 0$

Paso 1

Resta

17

$17$ de ambos lados de la ecuación.

4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$

Paso 2

Completa el cuadrado de

4 x^{2} - 4 x

$4 x^{2} - 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = - 4

$b = - 4$

c = 0

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de

- 4

$- 4$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Factoriza

2

$2$ de

- 4

$- 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de

$- 2$ y

$4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común de

${(- 4)}^{2}$ y

$4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1.1

Reescribe

$- 4$ como

$- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a

$- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.3

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.4

Multiplica

$4^{2}$ por

$1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.5

Factoriza

$4$ de

$4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1.6.1

Factoriza

$4$ de

$4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Paso 2.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común de

$4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 2.4.2.2

Resta

$1$ de

$0$ .

$e = - 1$

Paso 2.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Paso 3

Sustituye

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ por

$4 x^{2} - 4 x$ en la ecuación

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 6 y = - 17$

Paso 4

Mueve

$- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

$1$ a ambos lados.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 6 y = - 17 + 1$

Paso 5

Completa el cuadrado de

$- 4 y^{2} + 6 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

$a$ ,

$b$ y

$c$ .

$a = - 4$

$b = 6$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de

$d$ con la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de

$a$ y

$b$ en la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de

$6$ y

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Factoriza

$2$ de

$6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza

$2$ de

$2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 4)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{- 4}$

Paso 5.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{4}$

Paso 5.4

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva

$6$ a la potencia de

$2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica

$4$ por

$- 4$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 16}$

Paso 5.4.2.1.3

Cancela el factor común de

$36$ y

$- 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.3.1

Factoriza

$4$ de

$36$ .

$e = 0 - \frac{4 (9)}{- 16}$

Paso 5.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.3.2.1

Factoriza

$4$ de

$- 16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{9}{- 4}$

Paso 5.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{9}{4}$

Paso 5.4.2.1.5

Multiplica

$- - \frac{9}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.5.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{9}{4})$

Paso 5.4.2.1.5.2

Multiplica

$\frac{9}{4}$ por

$1$ .

$e = 0 + \frac{9}{4}$

Paso 5.4.2.2

Suma

$0$ y

$\frac{9}{4}$ .

$e = \frac{9}{4}$

Paso 5.5

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ .

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$

Paso 6

Sustituye

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ por

$- 4 y^{2} + 6 y$ en la ecuación

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4} = - 17 + 1$

Paso 7

Mueve

$\frac{9}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

$\frac{9}{4}$ a ambos lados.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - 17 + 1 - \frac{9}{4}$

Paso 8

Simplifica

$- 17 + 1 - \frac{9}{4}$ .

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Paso 8.1

Obtén el denominador común

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Paso 8.1.1

Escribe

$- 17$ como una fracción con el denominador

$1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} + 1 - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.2

Multiplica

$\frac{- 17}{1}$ por

$\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.3

Multiplica

$\frac{- 17}{1}$ por

$\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.4

Escribe

$1$ como una fracción con el denominador

$1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.5

Multiplica

$\frac{1}{1}$ por

$\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 8.1.6

Multiplica

$\frac{1}{1}$ por

$\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4 + 4 - 9}{4}$

Paso 8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.1

Multiplica

$- 17$ por

$4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 68 + 4 - 9}{4}$

Paso 8.3.2

Suma

$- 68$ y

$4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 64 - 9}{4}$

Paso 8.3.3

Resta

$9$ de

$- 64$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 73}{4}$

Paso 8.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{73}{4}$

Paso 9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{73}{4}$

Paso 10

Divide cada término por

$\frac{73}{4}$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{4}} + \frac{4 {(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{4}} = \frac{\frac{73}{4}}{\frac{73}{4}}$

Paso 11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

$1$ .

$\frac{{(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{16}} - \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{16}} = 1$