Precálculo Ejemplos

$\sqrt{3 n + 10} = n + 4$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 n + 10}}^{2} = {(n + 4)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 n + 10}$ como ${(3 n + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 n + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(n + 4)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(3 n + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 n + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 n + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(n + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 n + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(n + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 n + 10)}^{1} = {(n + 4)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$3 n + 10 = {(n + 4)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(n + 4)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(n + 4)}^{2}$ como $(n + 4) (n + 4)$ .

$3 n + 10 = (n + 4) (n + 4)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(n + 4) (n + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 n + 10 = n (n + 4) + 4 (n + 4)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 n + 10 = n \cdot n + n \cdot 4 + 4 (n + 4)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 n + 10 = n \cdot n + n \cdot 4 + 4 n + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $n$ por $n$ .

$3 n + 10 = n^{2} + n \cdot 4 + 4 n + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $n$ .

$3 n + 10 = n^{2} + 4 \cdot n + 4 n + 4 \cdot 4$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$3 n + 10 = n^{2} + 4 n + 4 n + 16$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $4 n$ y $4 n$ .

$3 n + 10 = n^{2} + 8 n + 16$

Paso 3

Resuelve $n$

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Paso 3.1

Como $n$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$n^{2} + 8 n + 16 = 3 n + 10$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $n$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $3 n$ de ambos lados de la ecuación.

$n^{2} + 8 n + 16 - 3 n = 10$

Paso 3.2.2

Resta $3 n$ de $8 n$ .

$n^{2} + 5 n + 16 = 10$

Paso 3.3

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$n^{2} + 5 n + 16 - 10 = 0$

Paso 3.4

Resta $10$ de $16$ .

$n^{2} + 5 n + 6 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $n^{2} + 5 n + 6$ con el método AC.

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Paso 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(n + 2) (n + 3) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$n + 2 = 0$

$n + 3 = 0$

Paso 3.7

Establece $n + 2$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 3.7.1

Establece $n + 2$ igual a $0$ .

$n + 2 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$n = - 2$

Paso 3.8

Establece $n + 3$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 3.8.1

Establece $n + 3$ igual a $0$ .

$n + 3 = 0$

Paso 3.8.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$n = - 3$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(n + 2) (n + 3) = 0$ verdadera.

$n = - 2, - 3$