Precálculo Ejemplos

$s (t) = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, (t - 4) (t - 8)$

Paso 2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(t - 4) (t - 8)$

Paso 3

Multiplica cada término en $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ por $(t - 4) (t - 8)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ por $(t - 4) (t - 8)$ .

$s t ((t - 4) (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $(t - 4) (t - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$s t (t (t - 8) - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$s t (t^{2} + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.2.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $t$ .

$s t (t^{2} - 8 \cdot t - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$s t (t^{2} - 8 t - 4 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.2.2

Resta $4 t$ de $- 8 t$ .

$s t (t^{2} - 12 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$s t \cdot t^{2} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.4

Simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$s (t^{2} t) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.4.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 3.2.4.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$s (t^{2} t^{1}) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$s t^{2 + 1} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.4.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$s t^{3} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.4.3

Mueve $32$ a la izquierda de $s t$ .

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.5

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.1

Mueve $t$ .

$s t^{3} - 12 s (t \cdot t) + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $(t - 4) (t - 8)$ .

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Paso 3.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ al numerador.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - 7 t$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Suma $7 t$ a ambos lados de la ecuación.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

Paso 4.2

Factoriza $t$ de $s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $t$ de $s t^{3}$ .

$t (s t^{2}) - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza $t$ de $- 12 s t^{2}$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + 32 s t + 7 t = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza $t$ de $32 s t$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + 7 t = 0$

Paso 4.2.4

Factoriza $t$ de $7 t$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

Paso 4.2.5

Factoriza $t$ de $t (s t^{2}) + t (- 12 s t)$ .

$t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

Paso 4.2.6

Factoriza $t$ de $t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s)$ .

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7 = 0$

Paso 4.2.7

Factoriza $t$ de $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7$ .

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t = 0$

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

Paso 4.4

Establece $t$ igual a $0$ .

$t = 0$

Paso 4.5

Establece $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 4.5.1

Establece $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ igual a $0$ .

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$ en $t$ .

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Paso 4.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5.2.2

Sustituye los valores $a = s$ , $b = - 12 s$ y $c = 32 s + 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3

Simplifica.

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Paso 4.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.3.1.1

Agrega paréntesis.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.2

Sea $u = s \cdot (32 s + 7)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $s \cdot (32 s + 7)$ .

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Paso 4.5.2.3.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- 12 s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} s^{2} - 4 \cdot u}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.2.2

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{144 s^{2} - 4 u}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.3

Factoriza $4$ de $144 s^{2} - 4 u$ .

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Paso 4.5.2.3.1.3.1

Factoriza $4$ de $144 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) - 4 u}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) + 4 (- u)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (36 s^{2}) + 4 (- u)$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - u)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $s \cdot (32 s + 7)$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s \cdot (32 s + 7)))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5

Simplifica.

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Paso 4.5.2.3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.3.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s (32 s) + s \cdot 7))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + s \cdot 7))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + 7 \cdot s))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5.1.4

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.2.3.1.5.1.4.1

Mueve $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 (s \cdot s) + 7 \cdot s))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5.1.4.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 \cdot s))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 s))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2}) - (7 s))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5.1.6

Multiplica $32$ por $- 1$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - (7 s))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5.1.7

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.5.2

Resta $32 s^{2}$ de $36 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (4 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.6

Factoriza $s$ de $4 s^{2} - 7 s$ .

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Paso 4.5.2.3.1.6.1

Factoriza $s$ de $4 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) - 7 s)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.6.2

Factoriza $s$ de $- 7 s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) + s \cdot - 7)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.6.3

Factoriza $s$ de $s (4 s) + s \cdot - 7$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s - 7))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 s (4 s - 7)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.7

Reescribe $4 s (4 s - 7)$ como $2^{2} (s (2^{2} s - 7))$ .

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Paso 4.5.2.3.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (4 s - 7)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.7.3

Agrega paréntesis.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} (s (2^{2} s - 7))}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$

Paso 4.5.2.3.2

Simplifica $\frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$ .

$t = \frac{6 s \pm \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

Paso 4.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$ verdadera.

$t = 0$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = 0$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$