Precálculo Ejemplos

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $x^{2} - 16$ .

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 16$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $(\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$ .

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Paso 2.2.1.1

Para escribir $\frac{A}{x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $\frac{B}{x + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 4) (x + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Multiplica $\frac{A}{x - 4}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.3.2

Multiplica $\frac{B}{x + 4}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.3.3

Reordena los factores de $(x - 4) (x + 4)$ .

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a x + b = \frac{A (x + 4) + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a x + b = \frac{A x + A \cdot 4 + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 \cdot A + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x + B \cdot - 4}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.5.4

Mueve $- 4$ a la izquierda de $B$ .

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $\frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)}$ por $x^{2} - 16$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 16)}{(x + 4) (x - 4)}$

Paso 2.2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.7.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 4^{2})}{(x + 4) (x - 4)}$

Paso 2.2.1.7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Paso 2.2.1.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1.8.1

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 2.2.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Paso 2.2.1.8.1.2

Reescribe la expresión.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Paso 2.2.1.8.2

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 2.2.1.8.2.1

Cancela el factor común.

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

Paso 2.2.1.8.2.2

Divide $A x + 4 A + B x - 4 B$ por $1$ .

$a x + b = A x + 4 A + B x - 4 B$

Paso 2.2.1.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.8.3.1

Reordena $A$ y $x$ .

$a x + b = x A + 4 A + B x - 4 B$

Paso 2.2.1.8.3.2

Reordena $B$ y $x$ .

$a x + b = x A + 4 A + x B - 4 B$

Paso 2.2.1.8.3.3

Mueve $4 A$ .

$a x + b = x A + x B + 4 A - 4 B$

Paso 3

Resuelve $a$

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Paso 3.1

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$

Paso 3.2

Divide cada término en $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ por $x$ .

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.2.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$a = A + B + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

Paso 3.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} - \frac{b}{x}$