Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 4$

$b = 3$

$k = 2$

$h = - 1$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 1, 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 - {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\sqrt{16 - 9}$

Paso 5.3.4

Resta $9$ de $16$ .

$\sqrt{7}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 2 + 4)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(- 1, 6)$

Paso 6.4

El segundo vértice de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 2 - (4))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 1, - 2)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 2 + \sqrt{7})$

Paso 7.3

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 2 - (\sqrt{7}))$

Paso 7.5

Simplifica.

$(- 1, 2 - \sqrt{7})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 2 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2 - \sqrt{7})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 2 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2 - \sqrt{7})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}}{4}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 3^{2}}}{4}$

Paso 8.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 9}}{4}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{\sqrt{16 - 9}}{4}$

Paso 8.3.4

Resta $9$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(- 1, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 2 + \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2 - \sqrt{7})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Paso 10