Precálculo Ejemplos

${(x + 5)}^{2} = 24 (y + 1)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ .

$24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ por $24$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ por $24$ .

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Paso 1.1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24} - 1$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{1}{24} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 1$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x + 5) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 1$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 1$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 1$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 1$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{24} x^{2} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $\frac{1}{24}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $2$ de $10 x$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 \cdot 12} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{12} (5 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $5$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5}{12} x + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Paso 1.2.1.1.5.4

Combina $\frac{5}{12}$ y $x$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Paso 1.2.1.1.5.5

Combina $\frac{1}{24}$ y $25$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{24}{24}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1 \cdot \frac{24}{24}$

Paso 1.2.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{24}{24}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} + \frac{- 1 \cdot 24}{24}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 1 \cdot 24}{24}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 24}{24}$

Paso 1.2.1.5.2

Resta $24$ de $25$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{24}$

$b = \frac{5}{12}$

$c = \frac{1}{24}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{12}}{2 (\frac{1}{24})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{24})}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{24}$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2}{24}}$

Paso 1.2.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $24$ .

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Paso 1.2.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{24}}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{5}{12} (1 \cdot 12)$

Paso 1.2.4.2.5

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

Factoriza $12$ de $1 \cdot 12$ .

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.2.5.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.2.5.3

Reescribe la expresión.

$d = 5$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{{(\frac{5}{12})}^{2}}{4 (\frac{1}{24})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{12}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{5^{2}}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{4 (\frac{1}{24})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{24}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4}{24}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $24$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 (1)}{24}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{144} \cdot 6)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $6$ de $144$ .

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 (24)} \cdot 6)$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 \cdot 24} \cdot 6)$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{24} - \frac{25}{24}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 - 25}{24}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $25$ de $1$ .

$e = \frac{- 24}{24}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $- 24$ por $24$ .

$e = - 1$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{24}$

$h = - 5$

$k = - 1$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 5, - 1)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{24}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{24}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{24}}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $24$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{24}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 6$

Paso 5.3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 5, 5)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 5$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 7$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 5, - 1)$

Foco: $(- 5, 5)$

Eje de simetría: $x = - 5$

Directriz: $y = - 7$

Paso 10