Precálculo Ejemplos

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = - 4$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 4, - 1)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Paso 5.3.3

Suma $9$ y $16$ .

$\sqrt{25}$

Paso 5.3.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$5$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4, 2)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4, - 4)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 4, 2), (- 4, - 4)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4, 4)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4, - 6)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 4, 4), (- 4, - 6)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Paso 8.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Paso 8.3.3

Suma $9$ y $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Paso 8.3.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Paso 8.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5}{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{4^{2}}{5}$

Paso 9.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Paso 11.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 - 1$

Paso 11.2.2

Resta $1$ de $3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 2$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Paso 12.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

Paso 12.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

Paso 12.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 - 1$

Paso 12.2.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - 3 - 1$

Paso 12.2.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{3 x}{4} + 2, y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 4, - 1)$

Vértices: $(- 4, 2), (- 4, - 4)$

Focos: $(- 4, 4), (- 4, - 6)$

Excentricidad: $\frac{5}{3}$

Parámetro focal: $\frac{16}{5}$

Asíntotas: $y = \frac{3 x}{4} + 2$ , $y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Paso 15