Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Reagrupa los términos.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 15 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Factoriza $- 3 x$ de $15 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Paso 1.2.2.2.3

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Paso 1.2.2.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza $u^{2} - 9 u + 20$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 5, - 4$

Paso 1.2.2.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

Paso 1.2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 1.2.2.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 1.2.2.8

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 1.2.2.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 1.2.2.9

Factoriza $x^{2} - 5$ de $- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.9.1

Factoriza $x^{2} - 5$ de $- 3 x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 1.2.2.9.2

Factoriza $x^{2} - 5$ de $(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 1.2.2.9.3

Factoriza $x^{2} - 5$ de $(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 1.2.2.10

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Paso 1.2.2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Paso 1.2.2.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 1.2.2.11

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.11.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 1.2.2.11.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 1.2.2.11.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 1.2.2.12

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.12.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 1.2.2.12.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Paso 1.2.2.13

Reordena los términos.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Paso 1.2.2.14

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.14.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.14.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 1.2.2.14.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Paso 1.2.2.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x^{2} - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Establece $x^{2} - 5$ igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x^{2} - 5 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 5$

Paso 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 1.2.4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 1.2.4.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 1.2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.4

Elimina los paréntesis.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.5

Simplifica ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.5.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.5.1.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.5.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.5.1.5

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

Paso 2.2.5.1.6

Multiplica $15$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Paso 2.2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Paso 2.2.5.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Paso 2.2.5.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 20$

Paso 2.2.5.2.4

Suma $0$ y $20$ .

$y = 20$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 20)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 20)$

Paso 4